Редактирование: Теорема Кэли

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
__TOC__
 
__TOC__
  
Теорема Кэли позволяет найти для любой конечной группы с определённой бинарной операцией изоморфную ей подгруппу группы всех перестановок.
+
Теорема Кэли позволяет найти для любой конечной группы с определённой бинарной операцией изоморфную её подгруппу группы перестановок.
 
==Теорема Кэли==
 
==Теорема Кэли==
 
{{
 
{{
Строка 11: Строка 11:
  
 
|proof=
 
|proof=
<tex>S_n</tex>(симметрическая группа) {{---}} множество перестановок с <tex>n</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>.
+
<tex>S_n</tex>(симметрическая группа) {{---}} множество перестановок с n элементами с операцией <tex>\circ</tex>.
  
 
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,\ldots,g_n\}</tex>.
 
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,\ldots,g_n\}</tex>.
Строка 45: Строка 45:
 
==Примеры==  
 
==Примеры==  
 
Рассмотрим конечную группу <tex>G= \mathbb Z_3=\{0, 1, 2\}</tex>  с операцией <tex>\circ </tex> {{---}} сложения по модулю <tex>3</tex>. Найдём подгруппу <tex>K</tex>, изоморфную группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>, то есть найдём отображение <tex>\mathbb{Z}_3</tex> в <tex>K</tex>.
 
Рассмотрим конечную группу <tex>G= \mathbb Z_3=\{0, 1, 2\}</tex>  с операцией <tex>\circ </tex> {{---}} сложения по модулю <tex>3</tex>. Найдём подгруппу <tex>K</tex>, изоморфную группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>, то есть найдём отображение <tex>\mathbb{Z}_3</tex> в <tex>K</tex>.
 
 
Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow K</tex>
 
Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow K</tex>
  
Строка 51: Строка 50:
  
 
<tex> \varphi(g)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ f_g(0) & f_g(1) & f_g(2)  \end{bmatrix},</tex> где <tex> f_g(x) = g \circ x</tex>.
 
<tex> \varphi(g)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ f_g(0) & f_g(1) & f_g(2)  \end{bmatrix},</tex> где <tex> f_g(x) = g \circ x</tex>.
 
При этом <tex>K\subseteq S_3</tex>, где <tex>S_3</tex> {{---}} группа всех перестановок с <tex>3</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>.
 
  
 
То есть
 
То есть
Строка 66: Строка 63:
 
<tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2  \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex>
 
<tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2  \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex>
  
Таким образом, мы нашли подгруппу <tex>K</tex> группы перестановок <tex>S_3</tex>, изоморфную конечной группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>.
+
Таким образом, мы нашли подгруппу <tex>K</tex> группы перестановок, изоморфную конечной группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>.
  
 
==См. также==
 
==См. также==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: