Теорема Кэли — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 17: Строка 17:
 
Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex>, так как <tex> (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} * g * x = x </tex>.
 
Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex>, так как <tex> (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} * g * x = x </tex>.
 
Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
 
Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
Таким образом множество всех функций <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex> {{---}} подгруппа симметрической группы.
+
Таким образом множество всех функций <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex> {{---}} подгруппа симметрической группы, так как композиция двух функций из <tex>K</tex> не выводит из <tex>K</tex>: <tex>(f_a \circ f_b)(x) = f_a(f_b(x)) = a * b * x = f_{a*b}(x) = f_c(x) </tex>, где <tex>c = a * b</tex> т.е. <tex>c \in G</tex>
 
+
 
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} композиция двух перестановок.
 
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} композиция двух перестановок.
 
Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex>  изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что <tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>.
 
Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex>  изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что <tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>.

Версия 05:45, 1 декабря 2011

Теорема (Кэли(Cayley), о вложении любой конечной группы в группу перестановок):
Любая конечная группа [math]G[/math] изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]*[/math] — бинарная операция в группе [math]G[/math]. Рассмотрим некоторый элемент [math]g \in G[/math] и функцию [math]f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x[/math]. [math]f_g[/math] — перестановка, так как

1) Для любых [math]x, y[/math] таких, что [math]x \neq y[/math] верно, что [math]g*x \neq g*y[/math] [math]\Rightarrow f_g[/math] — инъекция.

2) Мощность [math]G[/math] — конечна [math]\Rightarrow f_g[/math] — биективно, и является перестановкой.

Если [math]f_g[/math] — перестановка, то [math]f_{g^{-1}}[/math] — обратная перестановка, где [math]g^{-1}[/math] — обратный элемент [math]g[/math], так как [math] (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} * g * x = x [/math]. Если [math]e[/math] — нейтральный элемент в группе, то [math]f_e[/math] — тождественная перестановка. Таким образом множество всех функций [math]K = \{f_g : g \in G\}[/math] — подгруппа симметрической группы, так как композиция двух функций из [math]K[/math] не выводит из [math]K[/math]: [math](f_a \circ f_b)(x) = f_a(f_b(x)) = a * b * x = f_{a*b}(x) = f_c(x) [/math], где [math]c = a * b[/math] т.е. [math]c \in G[/math]

Пусть [math]\circ[/math] — композиция двух перестановок. Рассмотрим множество [math]K[/math]. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что [math]G[/math] и [math]K[/math] изоморфны. Для этого рассмотрим функцию [math]T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x[/math]. Заметим, что [math]T(g)\circ T(h) = T(g*h)[/math].

Действительно, для всех [math]x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)[/math], а тогда [math]T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)[/math].

Значит [math]T[/math] — гомоморфизм.

  1. [math]T[/math] — инъекция, потому что [math]f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'[/math].
  2. Сюрьективность [math]T[/math] очевидна из определения [math]K[/math].
То есть [math]T[/math] — гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм [math]G[/math] и [math]K[/math] установлен.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Тривиальным примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа [math] \mathbb Z_3[/math] — группа остатков по модулю 3, с операцией сложения.

Пусть [math]\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3[/math]

[math] \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]


Источники