Теорема Кэли

Теорема (Артур Кэли(Arthur Cayley)):

Любая конечная группа [math]G[/math] изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]*[/math] - бинарная операция в группе [math]G[/math]. Рассмотрим некоторый элемент [math]g \in G[/math] и функцию [math]f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x[/math]. Так как [math]G[/math] - группа, то существует обратный к [math]g[/math] элемент [math]g^{-1}[/math], тогда [math]f_g(x_1) = f_g(x_2) \Rightarrow x_1 = g^{-1}*f_g(x_1) = g^{-1}*f_g(x_2) = x_2[/math] , то есть [math]f_g[/math] - перестановка. Пусть [math]\circ[/math] - композиция двух перестановок. Рассмотрим множество [math]K = \{f_g : g \in G\}[/math]. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что [math]G[/math] и [math]K[/math] изоморфны. Для этого рассмотрим функцию [math]T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x[/math]. Заметим, что [math]T(g)\circ T(h) = T(g*h)[/math]. Действительно, для всех [math]x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)[/math], а тогда [math]T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)[/math]. [math]T[/math] - инъекция, потому что [math]g*x = g'*x \Rightarrow g = g'[/math] (после домножения обеих частей на [math]x^{-1}[/math]). Сюрьективность [math]T[/math] очевидна из определения [math]K[/math]. То есть [math]T[/math] - биекция, а значит изоморфизм [math]G[/math] и [math]K[/math] установлен.

[math]\triangleleft[/math]

Источники

• Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia