65
правок
Изменения
Нет описания правки
__TOC__
Теорема Кэли позволяет найти для любой конечной группы с определённой бинарной операцией изоморфную ей подгруппу группы всех перестановок.
==Теорема Кэли==
{{
Теорема
|about=о вложении любой конечной группы в группу перестановок
|statement=
Любая [[Конечная группа| конечная группа ]] <tex>G</tex> порядка <tex>n</tex> изоморфна некоторой подгруппе [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок|группы перестановок ]] (подгруппе симметрической группегруппы <tex>S_n</tex>).
|proof=
<tex>S_n</tex>(симметрическая группа) {{---}} множество перестановок с <tex>n</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>. Пусть <tex>*\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,\ldots,g_n\}</tex>.Рассмотрим некоторый элемент Для каждого элемента <tex>g \in G</tex> и функцию построим соответствующую перестановку <tex>f_g \in S_n: G </tex><tex> f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & \ldots & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & \ldots & f_g(g_n) \rightarrow Gend{bmatrix}, </tex> где <tex>f_g(x) = g*\circ x</tex>.
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как
# Для любых <tex>xa, yb\in G</tex> таких, что <tex>x a \neq yb</tex> верно, что <tex>g*x \circ a \neq g*y\circ b</tex> <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} инъекция.
# Мощность <tex>G</tex> {{---}} конечна <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} биективно, и является перестановкой.
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} композиция двух перестановок.Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex>, так как <tex> (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} * \circ g * \circ x = x </tex>.
Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
Так как <tex>G</tex> {{---}} группа, то <tex>g_i \circ g_j =g_k\in G</tex> и <tex>f_{g_i \circ g_j}=f_{g_k}</tex>, откуда <tex>f_{g_i} \circ f_{g_j}\in K</tex>. Значит , <tex>TK</tex> {{---}} гомоморфизмподгруппа группы <tex>S_n</tex>. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим отображение <tex>\varphi : G \rightarrow K\</tex>, которое переводит элемент <tex>g\in G</tex> в элемент <tex>\varphi(g)=f_{g^\prime}\in K</tex>, где <tex>{g^\prime}</tex> симметричен элементу <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>.
Заметим, что #Отображение <tex>T\varphi </tex> {{---}} инъекциявзаимно однозначно.#Для любых <tex>g_i, потому что g_j\in G</tex> верно <tex>f_g\varphi (xg_i \circ g_j) = f_{g'}(xg_i \circ g_j) ^\Rightarrow prime} = f_{{g = f_g(x)*x}^\prime_i \circ {-1g}^\prime_j} = f_{{g'}(x)*x^\prime_i}\circ f_{-1{g}^\prime_j} = g'\varphi (g_i)\circ \varphi (g_j)</tex>.#Сюрьективность , то есть отображение <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K\varphi</tex>сохраняет операцию.
}}
==Примеры==
<tex> \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} </tex>
<tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex>
Таким образом, мы нашли подгруппу <tex>K</tex> группы перестановок <tex>S_3</tex>, изоморфную конечной группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>.
==См. также==
* [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок]]
* [[Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов]]
* [[Таблица инверсий]]
* [[Матричное представление перестановок]]
==Источникиинформации==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Wikipedia {{---}} Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Свойства комбинаторных объектов]]