65
правок
Изменения
Нет описания правки
__TOC__
Теорема Кэли позволяет найти для любой конечной группы с определённой бинарной операцией изоморфную ей подгруппу группы всех перестановок.
==Теорема Кэли==
{{
Теорема
|proof=
<tex>S_n</tex>(симметрическая группа) {{---}} множество перестановок с <tex>n</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>. Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,...\ldots,g_n\}</tex>.
Для каждого элемента <tex>g\in G</tex> построим соответствующую перестановку <tex>f_g\in S_n:</tex>
<tex> f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & ... \ldots & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & ... \ldots & f_g(g_n) \end{bmatrix},</tex> где <tex>f_g(x) = g \circ x</tex>.
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как
Значит, оно является изоморфизмом групп <tex>G</tex> и <tex>K</tex>.
}}
==Примеры==
Рассмотрим конечную группу <tex>G= \mathbb Z_3=\{0, 1, 2\}</tex> с операцией <tex>\circ </tex> {{---}} сложения по модулю <tex>3</tex>. Найдём подгруппу <tex>K</tex>, изоморфную группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>,то есть найдём отображение <tex>\mathbb{Z}_3</tex> в <tex>K</tex>.
Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow K</tex>
<tex> \varphi(g)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ f_g(0) & f_g(1) & f_g(2) \end{bmatrix},</tex> где <tex> f_g(x) = g \circ x</tex>.
При этом <tex>K\subseteq S_3</tex>, где <tex>S_3</tex> {{---}} группа всех перестановок с <tex>3</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>.
То есть
<tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex>
Таким образом, мы нашли подгруппу <tex>K</tex> группы перестановок<tex>S_3</tex>, изоморфную конечной группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>.
==См. также==
==Источники информации==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Wikipedia {{---}} Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Свойства комбинаторных объектов]]
