Изменения

Любая [[Конечная группа| конечная группа ]] <tex>G</tex> порядка <tex>n</tex> изоморфна некоторой подгруппе [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок|группы перестановок ]] (подгруппе симметрической группегруппы <tex>S_n</tex>).

<tex>S_n</tex>(симметрическая группа) {{---}} множество перестановок с <tex>n</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>. Пусть <tex>*\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,\ldots,g_n\}</tex>.Рассмотрим некоторый элемент Для каждого элемента <tex>g \in G</tex> и функцию построим соответствующую перестановку <tex>f_g \in S_n: G </tex><tex> f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & \ldots & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & \ldots & f_g(g_n) \rightarrow Gend{bmatrix}, </tex> где <tex>f_g(x) = g*\circ x</tex>. <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как для  # Для любых <tex>xa, yb\in G</tex> таких, что <tex>x a \neq yb</tex> верно, что <tex>g*x \circ a \neq g*y\circ b</tex> <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} инъекция.# Мощность <tex>G</tex> {{---}} конечна <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} биективно, и является перестановкой. Пусть <tex>\circ</tex>{{---}} композиция двух перестановок.Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex>, так как <tex> (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} \circ g \circ x = x </tex>.

Пусть Докажем,что множество всех перестановок <tex>K = \{f_g : g \in G\circ}</tex> {{---}} композиция двух перестановок.Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой подгруппа симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>KS_n</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что

*Пусть <tex>g_i,g_j\in G</tex>.Рассмотрим перестановку <tex>T(g)f_{g_i} \circ T(hf_{g_j}) = T(g*hx)</tex>.Так как <tex>G</tex> {{---}} группа, то для любого <tex>x\in G</tex> верно

Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g f_{g_i} \circ f_hf_{g_j})(x) = f_gf_{g_i}(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*f_{g_j}(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)g_i}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g {g_j} \circ f_h x = f_{g_i \circ g_j}(g*hx)} = Tf_c(g*hx)</tex>. ,

Так как <tex>G</tex> {{---}} группа, то <tex>g_i \circ g_j =g_k\in G</tex> и <tex>f_{g_i \circ g_j}=f_{g_k}</tex>, откуда <tex>f_{g_i} \circ f_{g_j}\in K</tex>. Значит , <tex>TK</tex> {{---}} гомоморфизмподгруппа группы <tex>S_n</tex>. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим отображение <tex>\varphi : G \rightarrow K\</tex>, которое переводит элемент <tex>g\in G</tex> в элемент <tex>\varphi(g)=f_{g^\prime}\in K</tex>, где <tex>{g^\prime}</tex> симметричен элементу <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>.

*Заметим, что #Отображение <tex>T\varphi </tex> {{---}} инъекциявзаимно однозначно.#Для любых <tex>g_i, потому что g_j\in G</tex> верно <tex>f_g\varphi (xg_i \circ g_j) = f_{g'}(xg_i \circ g_j) ^\Rightarrow prime} = f_{{g = f_g(x)*x}^\prime_i \circ {-1g}^\prime_j} = f_{{g'}(x)*x^\prime_i}\circ f_{-1{g}^\prime_j} = g'\varphi (g_i)\circ \varphi (g_j)</tex>.*Сюрьективность , то есть отображение <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K\varphi</tex>сохраняет операцию.

То есть <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм и биекцияЗначит, а значит изоморфизм оно является изоморфизмом групп <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.

Тривиальным примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа Рассмотрим конечную группу <tex> G= \mathbb Z_3=\{0, 1, 2\}</tex> с операцией <tex>\circ </tex> {{---}} группа остатков сложения по модулю <tex>3</tex>. Найдём подгруппу <tex>K</tex>, изоморфную группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>, то есть найдём отображение <tex>\mathbb{Z}_3</tex> в <tex>K</tex>. Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow K</tex> <tex>K = \{\varphi(g) : g \in \mathbb{Z}_3\}</tex> и <tex> \varphi(g)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ f_g(0) & f_g(1) & f_g(2) \end{bmatrix},</tex> где <tex> f_g(x) = g \circ x</tex>. При этом <tex>K\subseteq S_3</tex>, где <tex>S_3</tex> {{---}} группа всех перестановок с <tex>3</tex> элементами с бинарной операцией сложения по модулю 3<tex>\circ</tex>. То есть <tex> \varphi(g)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ g\circ 0 & g\circ 1 & g\circ 2 \end{bmatrix}</tex>.

Пусть Тогда находим три перестановки, составляющие группу <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3K</tex>:

==Источникиинформации==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Wikipedia {{---}} Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]