13
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} композиция двух перестановок.
Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что *<tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>.
Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>.
Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм.
То есть <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.
