Теорема Лагранжа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Теорема Лагранжа == {{Теорема |id=th3 |author=Лагранж |statement= В конечных группах порядок любой под…»)
 
 
(не показаны 3 промежуточные версии 1 участника)
Строка 4: Строка 4:
 
|author=Лагранж
 
|author=Лагранж
 
|statement=
 
|statement=
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
+
В конечных [[группа|группах]] порядок любой [[Подгруппа|подгруппы]] делит порядок группы
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x биективно</tex>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.
+
Пусть <tex>G</tex> конечная группа, а <tex>H</tex> ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x биективно</tex>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 14: Строка 14:
  
 
<tex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</tex>
 
<tex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</tex>
 +
 +
== Ссылки ==
 +
[http://mathhelpplanet.com/static.php?p=teorema-lagranzha-o-poryadke-konechnoy-gruppy Доказательство]
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 17:00, 7 мая 2014

Теорема Лагранжа[править]

Теорема (Лагранж):
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]G[/math] — конечная группа, а [math]H[/math] — ее подгруппа. Любой элемент [math]G[/math] входит в некоторый смежный класс по [math]H[/math] ([math]a[/math] входит в [math]aH[/math]). Мощность каждого класса равна [math]\vert H\vert[/math], т.к. отображение [math]x\rightarrow a\cdot x биективно[/math]. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что [math]\vert G\vert[/math] делится на [math]\vert H\vert[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Следствие: [math]a^{\vert G\vert}=e[/math]. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу [math]H=\langle a\rangle[/math]: ее порядок равен порядку элемента [math]a[/math], но [math]a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e[/math].

Следствие:(теорема Ферма) Рассматривая в качестве [math]G[/math] группу [math]\mathbb{Z}_p[/math], получаем при [math]a\lt p[/math]:

[math]a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p[/math]

Ссылки[править]

Доказательство