Изменения

По одному из определений {{Теорема|author=Левин|statement=Для любого языка <tex>NPL \in \Sigma_1</tex> языка, язык и соответствующего ему (из определения <tex>L\Sigma_1</tex> принадлежит ) отношения <tex>NPR</tex>, если существует такая функция <tex>R«оптимальная» (xработающая «не сильно дольше», yчем любая другая) \in \tilde{P}</tex> — программа <tex>NPp</tex>-отношение для языка , сопоставляющая словам из <tex>L</tex> (<tex>NP</tex>-relation)их сертификаты, чтото есть: # <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists yR(x, p(x)) = 1</tex> — такой сертификат ;# для любой другой программы <tex>xq</tex>, что: для которой верно <tex>|y| x \in L \le polyLeftrightarrow R(|x|)</tex> и <tex>R, q(x, y)) = 1</tex>. Таким образом, для проверки принадлежности некоторого слова найдутся такие константа <tex>NPc</tex> языку и полином <tex>Lr</tex> с , что для любого <tex>NPx</tex>-отношением выполняется: <tex>RT(p, x) \le c \cdot T(q, x) + r(|x|)</tex> необходимо предъявить соответствующий сертификат. Так как для любого слова из языка существует подтверждающий сертификат, то существует программа |proof=Построим «оптимальную» программу <tex>gp(x)</tex>, которая для слов из языка возвращает нужный сертификат. А для слов не из языка никаких гарантий на возвращаемое значение функции нет, и потому она может либо вернуть неправильный сертификат, либо вообще зависнуть.

Встает вопрос о возможности построения «оптимальной» Пронумеруем все программы для заранее заданного <tex>NP\lbrace p_i \rbrace_{i=1}^\infty</tex> языка . Подадим им на вход слово <tex>Lx</tex> и будем исполнять по одной инструкции в следующем порядке: на шаге с номером <tex>j</tex> запустим программу <tex>NPp_k</tex>, где <tex>k</tex> таково, что <tex>j</tex> делится на <tex>2^{k-отношения для этого языка 1}</tex> и не делится на <tex>R2^{k}</tex>. Таким образом, которая программа <tex>p_k</tex> будет находить сертификат для словаисполняться на каждом <tex>2^k</tex>-м шаге начиная с <tex>2^{k-1}</tex>-го. Оптимальность программы в данном случае означаетСледовательно, если <tex>p_k</tex> завершит работу за <tex>T(p_k, что время ее работы для слов из языка не сильно хужеx)</tex> инструкций, чем у любой другой программыто к этому времени нами будет сделано <tex>2^{k-1} + (T(P_k, правильно находящей сертификат для слов из языкаx) - 1) \cdot 2^k</tex> шагов.

== Формулировка =='''Теорема Левина об оптимальной Как только <tex>NPp_k</tex> программе''' утверждает, что для любого языка <tex>L \in NP</tex> и функции <tex>R</tex> (<tex>NP</tex>-отношения для <tex>L</tex>) существует такая программа <tex>f</tex>выдав некоторое значение, завершит работу, что:#<tex>\forall x \in L</tex> выполнено будем на соответствующих шагах запускать проверку сертификата слова <tex>R(x, f(x)) = 1</tex>;#<tex>\forall g</tex> — такой программы, что используя вывод <tex>\forall x \in L: R(x, g(x)) = 1p_k</tex> выполнено <tex>\forall x \in L: T(fв качестве сертификата. Если результат проверки положителен, x) \le C(g) \cdot (T(gискомый сертификат найден, x) + poly(|x|))</tex>иначе — продолжим работу, где <tex>T(fничего не делая на тех шагах, x)</tex> — время работы программы <tex>fкогда должна была исполняться </tex> на входе <tex>xp_k</tex>.

ЗаметимТаким образом, что функция если некоторая программа <tex>Cq = p_m</tex> генерирует верные сертификаты, то наша программа <tex>p</tex> завершит работу не более, чем за <tex>2^{m-1} + (T(p_m,x) + T(R, \langle x,p_m(gx) \rangle) - 1)\cdot 2^m</tex> шагов. <tex>R \in P</tex> не зависит от слова и <tex>|y| \le poly(|x|)</tex> из определения <tex>\Sigma_1</tex>, т.е. константа от значит это равно <tex>2^{m-1} + (T(p_m,x) + poly(|x|)) \cdot 2^m = 2^m \cdot T(q,x) + poly(|x|)</tex>.}}

== Доказательство См. также ==Для доказательства теоремы будем строить оптимальную <tex>NP</tex> программу <tex>f</tex> для некоторого <tex>NP</tex> языка <tex>L</tex> и <tex>NP</tex> отношения <tex>R(x, y)</tex> для него.*[[Класс P]]*[[Классы_NP_и_Σ₁]]

Занумеруем все программы <tex>g_1, g_2, ... , g_n, ...</tex> сначала по длине программы, а в случае равенства длин — лексикографически. Будем запускать <tex>g_i</tex> каждый раз на один шаг и запоминать полученное состояние запущенной программы. Запускать будем в следующем порядке[[Категория: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5 и так далее. Заметим, что мы запускаем программу <tex>g_i</tex> каждый <tex>2^i</tex>-й раз, а потому, если программа <tex>g_i(x)</tex> завершается за <tex>k</tex> шагов, то <tex>f</tex> совершит не больше <tex>2^i \cdot k</tex> шагов до момента завершения <tex>g_i</tex> на входе <tex>x</tex> в программе <tex>f</tex>.  После того, как программа <tex>g_i</tex> остановилась, на её месте будем запускать программу <tex>R(x, y)</tex>, где <tex>y</tex> - значение, которое вернула <tex>g_i(x)</tex>. Причем <tex>f</tex> совершит не больше <tex>2^i \cdot poly(|x + y|)</tex> шагов до завершения программы <tex>R(x, y)</tex>, так как <tex>R \in \tilde{P}</tex> и она запускается каждый <tex>2^i</tex>-й раз. Если <tex>R(x, y)</tex> вернула <tex>true</tex>, то возвратим <tex>y</tex>, так как <tex>y</tex> — нужный сертификат для <tex>x</tex>, а если <tex>false</tex>, то ничего на этом месте больше запускать не будем. Осталось доказать, что данная программа действительно удовлетворяет пунктам 1 и 2 теоремы Левина.#Так как программа <tex>f</tex> возвращает только те <tex>y</tex>, для которых <tex>R(x, y) = 1</tex>, то <tex>R(x, f(x)) = 0</tex> получиться не может. Покажем, что и зависнуть на словах из языка <tex>f</tex> не может. Как выше уже упоминалось, если слово принадлежит языку <tex>L</tex>, то для него есть сертификат, а значит есть и программа <tex>g</tex>, которая просто этот сертификат возвращает. Так как все программы рано или поздно будут занумерованы, то и <tex>g</tex> будет занумерована, а следовательно и запущена. После остановки <tex>g</tex> и проверки правильности <tex>y</tex> программа <tex>f</tex> вернет его.#Как выше уже оговаривалось, если программа <tex>g(x)</tex> правильно находит сертификаты для слов из языка и завершается за <tex>k</tex> шагов для некоторого слова <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, то программа <tex>f</tex> завершится не более, чем за <tex>2^i \cdot (k + poly(|x + y|))</tex> шагов для этого же слова. Заметим, что <tex>2^i \cdot (k + poly(|x + y|))=2^i \cdot (k + poly(|x|))</tex>, так как <tex>y</tex> — сертификат для <tex>x</tex> и потому <tex>|y| \le poly(|x|)</tex>. Теорема доказана.Теория сложности]]