Изменения

<tex>\mathrm{LSAT} = \{\langle \phivarphi, y \rangle \mid \exists x: x \leqslant_{lex} y, \phivarphi(x) = 1\}</tex>, где <tex> \phi varphi </tex> {{---}} булева формула из <tex>n</tex> переменных, <tex>x, y \in \{0,1\}^{n} </tex> и отношение <tex> \leqslant_{lex} </tex> задает [[Лексикографический порядок | лексикографический порядок]].

#[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи | Сведём]] <tex>\mathrm{SAT}</tex> к <tex>\mathrm{LSAT}</tex>. Для этого рассмотрим отображение <tex>\phi varphi \mapsto \langle \phivarphi, 1^{|\phivarphi|}\rangle</tex>, где <tex>|\phivarphi|</tex> — количество различных переменных в формуле <tex>\phivarphi</tex>. Ясно, что данное преобразование можно сделать за полиномиальное время. Теперь докажем, что сведение верное. #*Если <tex>\phi varphi \in \mathrm{SAT}</tex>, то формула <tex>\phivarphi</tex> удовлетворима, а значит <tex>\exists x: x \leqslant_{lex} 1^{|\phivarphi|}, \phivarphi(x)=1</tex>. Следовательно, <tex>\langle \phivarphi, 1^{|\phivarphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.#*Если <tex>\langle \phivarphi, 1^{|\phivarphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>, то <tex>\exists x: x \leqslant_{lex} 1^{|\phivarphi|}, \phivarphi(x)=1</tex>. Значит формула <tex>\phivarphi</tex> удовлетворима, и <tex>\phi varphi \in \mathrm{SAT}</tex>.:Таким образом, <tex>\mathrm{SAT} \leqslant \mathrm{LSAT}</tex>. Но [[Теорема Кука | по теореме Кука ]]<tex>\mathrm{SAT} \in \mathrm{NPC}</tex>, а значит для любого <tex>\forall L \in \mathrm{NP} \; </tex> выполнено <tex> L \leqslant \mathrm{SAT}</tex>. Тогда в силу транзитивности <tex>\forall L \in \mathrm{NP} \; L \leqslant \mathrm{LSAT}</tex>, то есть <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPH}</tex>.Итого , мы доказали, что <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPH}</tex> и <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NP}</tex>. Тогда по определению <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}</tex>.

|statement=<tex>\langle\phivarphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}, y<_{lex}z</tex>. Тогда <tex>\langle\phivarphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.|proof=<tex>\langle\phivarphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>. Тогда <tex>\exists x: x\leqslant_{lex}y, \phivarphi(x) = 1</tex>. Так как <tex>y<_{lex}z</tex>, то <tex>\exists x: x<_{lex}z, \phivarphi(x) = 1</tex>, следовательно <tex>\langle\phivarphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.

<tex>\mathrm{SPARSE}=\{L \mid \exists</tex> полином <tex> p: \forall n \, |L \cap \Sigma^n| \leqslant p(n)\}</tex> {{---}} множество '''редких ''' (англ. ''sparse'') языков.

То есть множество языков таких, что множество слов длины <tex> n </tex> из языка ограничено полиномом от <tex> n </tex>.  Они называются редкими потому, что строк длины <tex> n </tex> всего <tex> 2^{n} </tex>, и если язык содержит только полином от этого числа, то при большом <tex> n </tex> эта часть стремится к нулю. '''Пример:''' <tex> \{1^{n} \mid n</tex>-я [[Машина Тьюринга | машина Тьюринга]] останавливается на <tex> Y \} \in \mathrm{SPARSE}</tex>. Более того, любой унарный язык принадлежит <tex>\mathrm{SPARSE} </tex> (просто принять <tex> p(n) = 1 </tex>).

'''Пример:''' <tex> \{1^{n} \mid n</tex>-я [[Машина Тьюринга | машина Тьюринга]] останавливается на <tex> Y \} \in \mathrm{SPARSE}</tex>. Более того, любой [https://en.wikipedia.org/wiki/Unary_language унарный язык] принадлежит <tex>\mathrm{SPARSE} </tex> (просто принять <tex> p(n) = 1 </tex>).=Теорема==

Так как <tex>S\in \mathrm{NPC}</tex> и <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}</tex>, то существует полиномиальная функция сведения <tex>f</tex> такая, что <tex>\langle \phivarphi, y \rangle \in \mathrm{LSAT} \Leftrightarrow f(\langle \phivarphi, y \rangle) \in S</tex>.

Так как функция <tex>f</tex> работает полиномиальное время, и <tex>|\phivarphi|\geqslant|y|</tex> (<tex>|y|</tex> — длина вектора <tex>y</tex>), то <tex>f(\langle\phivarphi,y\rangle) \leqslant q(|\phi|)</tex>, где <tex>q</tex> — полином.

Тогда <tex>|\{x\in S \mid |x| \leqslant q(|\phivarphi|)\}| \leqslant \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q(|\phivarphi|)} p(i) = r(|\phi|)</tex>, где <tex>r</tex> — также полином.

Опишем алгоритм для нахождения лексикографически минимальной строки <tex>x</tex>, удовлетворяющей формуле <tex>\phivarphi</tex>.

Пусть <tex>n=|\phivarphi|, r=r(|\phivarphi|)</tex>. Изначально область поиска для <tex>x</tex> — все строки длины <tex>n</tex>. Опишем одну итерацию поиска.

Разобьём текущее множество строк на <tex>r+1</tex> подотрезок примерно равной длины. Обозначим концы полученных подотрезков <tex>w_0,...,w_{r+1}</tex>. Пусть теперь <tex>z_i=f(\langle\phivarphi,w_i\rangle)</tex>.

Из леммы (2) мы знаем, что, начиная с некоторого <tex>l</tex>, все пары <tex>\langle\phivarphi, w_l\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>. Тогда по сведению <tex>z_j \in S</tex> для всех <tex>j\geqslant l</tex>.

# <tex>z_i \ne z_j \, \forall i \ne j</tex>. Как было показано выше, если <tex>x \in [w_0, w_1]</tex>, то все <tex>z_i</tex>, начиная с <tex>z_1</tex>, лежат в <tex>S</tex>, но тогда <tex>S</tex> содержит <tex>r+1</tex> строку длины не более, чем <tex>q(|\phivarphi|)</tex>, что противоречит условию <tex>|\{x\in S \mid |x| \leqslant q(|\phivarphi|)\}| \leqslant r(|\phivarphi|)</tex>. Следовательно, <tex>x\notin[w_0,w_1]</tex>, то есть его можно убрать из рассмотрения.

Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая-то из них удовлетворила формуле <tex>\phivarphi</tex>, то <tex>x=min(w_i), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\phivarphi</tex>. Иначе, <tex>x</tex> не существует.

<tex>2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k \simeq 1</tex>. Отсюда <tex>k=O(rn)</tex> (это можно получить, выразив <tex>k</tex> через <tex>n</tex> и <tex>r</tex> и воспользовавшись [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9 [Формула Тейлора для произвольной функции | формулой Тейлора]] для логарифма).