50
правок
Изменения
Нет описания правки
Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и ''вершинно непересекающиеся пути''.
==Подготовка к доказательству==
:Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней {{---}} читай в соответствующей статье):
:''1.'' # В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой). :''2.'' # В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути. :''3.'' # Повторяем пункт ''<tex>2'' </tex> до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.
:То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.
}}
И, наконец, сделаем немного более осознаным осознанным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:
{{Утверждение
|statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны <tex>1</tex>, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.
|proof=
: Считаем, что <tex>u</tex> {{---}} источник, <tex>v</tex> {{---}} сток.
: В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным <tex>1</tex>. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
:Итак, найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен <tex>1</tex>. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов.
}}
|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> ребер существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
|proof=
:<tex>\Leftarrow</tex> : Как и прежде, пусть <tex>u</tex> {{---}} источник, а <tex>v</tex> {{---}} сток. :Назначим каждому ребру пропускную способность <tex>1</tex>. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей.
:<tex>\Rightarrow</tex>: существует Существует <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
}}
* [[wikipedia:Menger's theorem | Wikipedia {{---}} Menger's theorem ]]
==ЛитератураИсточники информации==
* Ловас Л., Пламмер М. {{---}} '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' (глава 2.4 стр. 117) {{---}} 1998. {{---}} 656 с. {{---}} ISBN 5-03-002517-0
* Харари Ф. '''Теория графов.''' глава 5 — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
