Теорема Оре — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 18: Строка 18:
 
Имеем: <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} u + \operatorname{deg} v \geqslant n </tex>, но <tex>\left\vert S + T \right\vert < n.</tex>
 
Имеем: <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} u + \operatorname{deg} v \geqslant n </tex>, но <tex>\left\vert S + T \right\vert < n.</tex>
  
Тогда <tex>\left\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert > 0</tex>, т. е. <tex>\exists i \mid ut_{i+1}\in EG</tex> и <tex> t_iv \in EG.</tex>
+
Тогда <tex>\left\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert > 0</tex>, т. е. <tex>\exists i: ut_{i+1}\in EG</tex> и <tex> t_iv \in EG.</tex>
 
Получили противоречие, т. к. <tex>u \dots t_1v \dots t_2u</tex> {{---}} гамильтонов цикл.
 
Получили противоречие, т. к. <tex>u \dots t_1v \dots t_2u</tex> {{---}} гамильтонов цикл.
 
}}
 
}}
Строка 32: Строка 32:
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 +
[[Категория: Гамильтоновы графы]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Теорема:
Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\operatorname{deg} u + \operatorname{deg} v \geqslant n[/math] для любых двух различных несмежных вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] неориентированного графа [math]G[/math], то [math]G[/math] гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть, от противного, существует граф [math]G[/math], который удовлетворяет условию теоремы, но не является гамильтоновым графом. Будем добавлять к нему новые ребра до тех пор, пока не получим максимальный негамильтонов граф [math]G'[/math]. В силу того, что мы только добавляли ребра, условие теоремы не нарушилось.

Пусть [math]u,v[/math] несмежные вершины в полученном графе [math]G'[/math]. Если добавить ребро [math]uv[/math], появится гамильтонов цикл. Тогда путь [math](u,v)[/math] — гамильтонов.

Для вершин [math]u,v[/math] выполнено [math]\operatorname{deg} u + \operatorname{deg} v \geqslant n.[/math]

По принципу Дирихле всегда найдутся две смежные вершины [math] t_1,t_2[/math] на пути [math](u,v)[/math], т.е. [math]u \dots t_1t_2 \dots v[/math] , такие, что существует ребро [math]ut_2[/math] и ребро [math]t_1v.[/math]

Действительно, пусть [math]S=[/math] [math]\{ i \mid e_i=ut_{i+1} \in EG \}[/math] и [math]T = [/math] [math]\{ i \mid f_i=t_iv \in EG \}[/math]

Имеем: [math]\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} u + \operatorname{deg} v \geqslant n [/math], но [math]\left\vert S + T \right\vert \lt n.[/math]

Тогда [math]\left\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert \gt 0[/math], т. е. [math]\exists i: ut_{i+1}\in EG[/math] и [math] t_iv \in EG.[/math]

Получили противоречие, т. к. [math]u \dots t_1v \dots t_2u[/math] — гамильтонов цикл.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
  • Харари — Теория графов. ISBN 978-5-397-00622-4