Изменения

Если <tex>n \ge geqslant 3</tex> и <tex>\operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg\ } v \ge geqslant n</tex> для любых двух различных несмежных вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированного графа ]] <tex>G</tex>, то <tex>G</tex> {{--- }} [[Гамильтоновы графы | гамильтонов граф]].

Пусть <tex>u,v</tex> несмежные вершины в полученном графе <tex>G'</tex>. Если добавить ребро <tex>uv</tex>, появится гамильтонов цикл. Тогда путь <tex>(u,v)</tex> {{- --}} гамильтонов.

Для вершин <tex>u,v</tex> выполнено <tex>\operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg\ } v \ge geqslant n.</tex>

По принципу Дирихле всегда найдутся две смежные вершины <tex> t_1,t_2</tex> на пути <tex>(u,v)</tex> ,т.е. <tex>u..\dots t_1t_2..\dots v</tex> , такие, что существует ребро <tex>ut_2</tex> и ребро <tex>t_1v.</tex>

Действительно, пусть <tex>S=</tex> { <tex> \{ i| \mid e_i=ut_{i+1} \in EG\}</tex> } и <tex>T = </tex> { <tex> \{ i| \mid f_i=t_iv \in EG\}</tex> }

Имеем: <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg\ } v \ge geqslant n </tex>, но <tex>\left\vert S + T \right\vert < n.</tex>

Тогда <tex>\left\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert > 0</tex> , т.е. <tex>\exists i| : ut_{i+1}\in EG</tex> и <tex> t_iv \in EG.</tex>Получили противоречие, т.к. <tex>u..\dots t_1v..\dots t_2u</tex> {{--- }} гамильтонов цикл.

== Источники ==1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика[[Категория: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''<br />Алгоритмы и структуры данных]]2. Харари Ф. - Теория [[Категория: Обходы графов. '''ISBN 978-5-397-00622-4''']][[Категория: Гамильтоновы графы]]