34
правки
Изменения
merge
}}
== Жадный алгоритм поиска базы минимального веса ==
{{Теорема
|about=
жадный алгоритм поиска базы минимального веса
|statement=
Пусть на носителе матроида <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> задана весовая функция <tex>\omega: X \to \mathbb R</tex>. Для любого <tex>A \subset X</tex> выполнено: <tex>\omega(A) = \sum\limits _{x \in A} \omega(x)</tex>. Тогда база минимального веса матроида <tex>M</tex> ищется жадно.
|proof=
Псевдокод алгоритма:
<tex>sort(X)</tex> // сортируем элементы по возрастанию веса
<tex>B \leftarrow \varnothing</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>|X|-1</tex> '''do'''
'''if''' <tex>B \cup X[i] \in I</tex>
<tex>B \leftarrow B \cup X[i]</tex>
Рассмотрим шаг алгоритма, когда мы пытаемся добавить элемент <tex>X[i]</tex>. Заметим, что если его можно добавить с сохранением независимости множества <tex>B</tex>, то это элемент минимального веса не из <tex>B</tex>, который можно добавить (при условии сохранения независимости <tex>B</tex> при добавлении). В самом деле, пусть <tex>X[j]</tex> — элемент минимального веса не из <tex>B</tex>, который можно добавить к <tex>B</tex> с сохранением его независимости, тогда <tex>j<i</tex>. Но тогда он уже был бы добавлен на <tex>j</tex>-ом шаге алгоритма.
Понятно, что все базы имеют одинаковую мощность (иначе в меньшую можно было бы добавить элемент из большей по аксиоме матроидов, что противоречит определению базы). По [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)|теореме Радо-Эдмондса]] множество минимального веса, имеющее мощность базы, (то есть база минимального веса) ищется последовательным добавлением в изначально пустое множество элементов минимального веса из <tex>X</tex> так, чтобы после каждого добавления множество оставалось независимым.
Алгоритм работает за <tex>O(|X| \log(|X|))</tex>. На сортировку элементов из <tex>X</tex> по возрастанию весов уходит <tex>O(|X| \log(|X|))</tex> и <tex>O(|X|)</tex> шагов цикла, каждый из которых работает <tex>O(1)</tex> времени (если считать, что проверка множества на независимость происходит за <tex>O(1)</tex>).
}}
== Примеры задач ==
== Источники информации ==
* [[wikipedia:ru:Жадный алгоритм Радо — Эдмондса | Википедия — Жадный алгоритм Радо-Эдмондса]]
* [http://www.mathematik.hu-berlin.de/~wilhelm/greedy-vortrag.pdf| Greedy Algorithm And Edmonds Matroid Intersection Algorithm]
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
