Изменения

== {{Определение образца =|definition='''Образцом''' (англ. ''pattern'') называется конечное множество слов, объединённое [[Свойства_перечислимых_языков._Теорема_Успенского-Райса|свойством]].}}

Пусть '''Язык <tex>\gamma=\{\langle x_1,y_1\rangle,\langle x_2,y_2\rangle,\ldots ,\langle x_n,y_n\rangle\}L</tex>.удовлетворяет свойству <tex>A<br /tex>Тогда ''', если <tex>L \gammain A</tex> ( этот язык содержится в <tex>A</tex> называется образцом).

Пусть '''Язык <tex>A_{\gamma}=\{p | p(x_1)=y_1 \wedge p(x_2)=y_2 \wedge \ldots \wedge p(x_n)=y_n\}L</tex>, где удовлетворяет образцу <tex>\langle x_i, y_i\rangle \in \gammaX</tex>.<br />Тогда ''', если <tex>A_{\gamma}L</tex> называется свойством образца содержит все элементы <tex>\gammaX</tex>.

 == Лемма о перечислимости свойства образца == {{ЛеммаОпределение|statement definition=Свойство '''Язык <tex>A_{\gamma}L</tex> перечислимо для любого образца удовлетворяет множеству образцов <tex>\gammaGamma</tex>.|proof =Построим полуразрешитель ''', если <tex>A_{\gamma}L</tex>: удовлетворяет хотя бы одному образцу <tex>q(p):</tex> for <tex>\langle x_i, y_i\rangle X \in \gamma</tex> if <tex>p(x_i) \not= y_iGamma</tex> while True return 1Полуразрешителя достаточно для доказательства перечислимости.

|statement =Пусть <tex>\GammaA</tex> {{---}} — перечислимое множество образцовсвойство языков, <tex>A_{\Gamma} = \bigcup\limits_{\gamma G \in \Gamma}{A_{\gamma}}A</tex>.Тогда верно следствие: <tex>A_{G \subset H \Rightarrow H \Gamma}in A</tex> {{---}} перечислимо.|proof =Построим полуразрешитель Строим доказательство от противного. Пусть <tex>A_{G \Gamma}in A</tex>: , <tex>q(p):G \subset H</tex> for , <tex>k = 1\ldots +H \inftynotin A</tex> for , <tex>\gamma \in \Gamma[1..k]K</tex>— перечислимое неразрешимое множество. Построим следующую вычислимую функцию: if <tex>f(p x, y) = \begin{cases}x \in H & y \in A_{K\\x \in G & y \notin K\gamma})|_end{TL(k)cases}</tex> return 1Полуразрешителя достаточно для доказательства перечислимости.}}

{{Теорема|statement = <tex>g(x):</tex>Свойство функций '''if''' <tex>Ax \in H</tex> перечислимо тогда и только тогда, когда '''return''' <tex>y \exists \Gamma: A = A_{\Gamma}in K</tex>, где '''if''' <tex>x \Gammain G</tex> {{---}} перечислимое множество образцов.|proof = '''return''' <tex>y \Leftarrownotin K</tex>

Очевидно После этого запустим параллельно проверки <tex>y \in K</tex> и <tex>L(перебор по TLg)\in A</tex>.Если <tex>y \in K</tex>, то первая проверка завершится. Иначе функция <tex>g</tex> задаёт язык <tex>G</tex>, который обладает свойством <tex>A</tex>, следовательно, вторая проверка завершится, сигнализируя о том, что <tex>y \notin K</tex>. Но <tex>K</tex> не является разрешимым множеством, получено противоречие.}}

|statement =Пусть <tex>A</tex> {{---}} — перечислимое свойство функций, <tex>g G \in A</tex>, . Тогда существует конечное множество <tex>hH \in A</tex> {{---}} продолжение , которое является подмножеством <tex>gG</tex>.Тогда |proof=Строим доказательство от противного. Пусть <tex>h G \in A</tex>, и любое конечное подмножество <tex>G</tex> не удовлетворяет свойству <tex>A</tex>, <tex>K</tex> — перечислимое неразрешимое множество.Определим следующую функцию:|proof * <tex>f(x, y) =false</tex>, если за <tex>x</tex> шагов перечисления <tex>K</tex> появилось слово <tex>y</tex>.Докажем от противного* <tex>f(x, y) = x \in G</tex> иначе.Пусть Заметим, что если <tex>g y \in AK</tex>, то <tex>f(x, y)</tex> распознаёт некоторое конечное подмножество <tex>hG</tex> {{---}} продолжение и всё множество <tex>gG</tex>иначе. Эта функция тривиальным образом разрешима, построим с её помощью разрешитель <tex>h \notin AK</tex>.Аналогично доказательству первой леммы, подготовим программу <tex>g</tex>:

Рассмотрим перечислимое и неразрешимое множество <tex>K</tex> и следующую программу g(x): '''return''' f(x, y)

После этого параллельно запустим проверки <tex>V(n, x) = \begin{cases} h(x)\text{, if $n y \in K$;}\\ </tex> и <tex>L(g(x)\text{in A</tex>. Аналогично, elseданная процедура разрешает множество <tex>K</tex>.} \end{cases}Но <tex>K</tex>не является разрешимым, получено противоречие.}}

Пусть <tex>p(x)=V(n'''Теорема Райса-Шапиро''' позволяет дать простое описание перечислимым свойствам языков. Заметим, x)</tex>что вычислимо работать с произвольными языками возможности нет, поэтому далее неявно подразумевается, что все рассматриваемые языки являются [[Перечислимые языки|перечислимыми]].

Тогда программаЗаметим, которая запускает параллельно проверку (1), принадлежит ли <tex>n</tex> множеству <tex>K</tex> (просто перечисляя это множество) и проверку (2), принадлежит ли <tex>p</tex> множеству <tex>A</tex>, является разрешающей программой для множества <tex>K</tex>, потому что:* если <tex>n \in K</tex>образцы являются конструктивными объектами, то проверка (1) завершитсяследовательно, а проверка (2) зависнет (так как <tex>p</tex> ведёт себя как <tex>h</tex>, которая не содержится в <tex>A</tex>); пусть в этом случае разрешающая программа для <tex>K</tex> возвращает 1;* если <tex>n \notin K</tex>, то проверка (1) зависнет, а проверка (2) завершится (так как <tex>p</tex> ведёт себя как <tex>g</tex>, которая содержится в <tex>A</tex>); пусть в этом случае разрешающая программа для <tex>K</tex> возвращает 0можно говорить о разрешимых и перечислимых множествах образцов.

Противоречие, так как брали неразрешимое {{Теорема|about=Райса-Шапиро|statement=Свойство языков <tex>KA</tex>перечислимо <tex>\iff \exists\Gamma : L \in A \iff L \subseteq \Gamma.</tex>

{{Лемма|statement =Если : Доказательство в одну сторону тривиально: пусть <tex>A\Gamma</tex> {{---}} — перечислимое свойство функций, множество образцов. Будем обозначать за <tex>g \in AGamma_i</tex> образец с номером <tex>i</tex>, то а за <tex>\exists hGamma_{ij}</tex>, такое что — элемент с номером <tex>|Dom(h)| < +\inftyj</tex>, образца с номером <tex>gi</tex> {{---}} продолжение . Далее приведён код полуразрешителя <tex>hA</tex>, который принимает на вход код полуразрешителя <tex>h \in AL</tex>.|proof =Докажем от противного.Пусть и возвращает значение <tex>L \not\exists hin A</tex>, удоволетворяющая условию леммы.

Рассмотрим перечислимое и неразрешимое множество A(L): '''for''' t = 1 '''to''' <tex>\infty</tex> '''for''' i = 1 '''to''' t ok <tex>=</tex> ''true'' '''for''' j = 1 '''to''' <tex>|\Gamma_i|</tex> '''if''' <tex>K\lnot L|_t (\Gamma_{ij})</tex> и следующую программу: ok <tex>=</tex> ''false'' '''if''' ok '''return''' ''true''

<tex>V(n\Leftarrow</tex>:Для доказательства в другую сторону будем использовать две леммы, приведённые выше. Полуразрешитель для множества образцов, x) = удовлетворяющих <tex>\Gamma</tex> строится следующим образом: для каждого образца <tex>\gamma</tex> строится текст программы \beginf<tex>{cases} g_\gamma</tex>(x)\text: '''return''' x <tex>{, if (1);}\in \gamma</tex> \perp\text{, else;} \end{cases}:Текст программы передаётся полуразрешителю <tex>A</tex>.

где условие :Докажем, что данное построение корректно. Обозначим множество образцов, принимаемое построенным выше полурарешителем <tex>\Gamma</tex>. Пусть существует <tex>\gamma \in \Gamma</tex> такой, что <tex>L</tex> удовлетворяет <tex>\gamma</tex>. По определению <tex>\Gamma</tex>, язык <tex>(1)\gamma</tex> следующее: через удовлетворяет свойству <tex>A</tex>. Язык <tex>xL</tex> шагов перечисления удовлетворяет свойству <tex>KA</tex> число по первой лемме как надмножество <tex>n\gamma</tex> не появилось.

Тогда программа, которая запускает параллельно проверку (1), принадлежит ли <tex>n</tex> множеству <tex>K</tex> (просто перечисляя это множество) и проверку (2), принадлежит ли <tex>V(n, x)</tex> множеству <tex>A</tex>, является разрешающей программой для множества <tex>K</tex>, потому что:* если Пусть <tex>n L \notin Kin A</tex>, то <tex>V(n, x) \equiv g(x)</tex> для . Тогда по второй лемме найдётся образец <tex>\forall ngamma</tex>, поэтому проверка (2) завершится. Проверка (1) зависнет. Пусть в этом случае разрешающая программа для который является подмножеством <tex>KL</tex> возвращает 0;* если и удовлетворяет свойству <tex>n \in KA</tex>, то завершится проверка (1). ТакжеСледовательно, этот образец лежит в этом случае множестве <tex>|Dom(V(n, x))| < +\inftyGamma</tex>, так как и язык <tex>V(n, x) = g(x)A</tex> при удовлетворяет множеству образцов <tex>x = 0\ldots t-1</tex> для какого-то <tex>tGamma</tex>. <tex>g</tex> является продолжением <tex>V(n, x)</tex>. По предположению от противного <tex>V(n, x) \notin A</tex> <tex>\Rightarrow</tex> проверка (2) зависнет. Пусть в этом случае разрешающая программа для <tex>K</tex> возвращает 1что и требовалось доказать.

Противоречие, так как брали неразрешимое <tex>K</tex>== См.}}также==

Вернёмся к доказательству теоремы== Источники информации ==* ''Верещагин Н.К., Шень A.'' Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{---}} М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2008. {{---}} С. 528 {{---}} ISBN 978-5-8459-1347-0 (рус.)

Функции с конечной областью определения записываются так[[Категория:Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]] <tex>f(x)[[Категория:</tex> if <tex>x = x_1</tex> return <tex>y_1</tex> <tex>\cdots</tex> if <tex>x = x_n</tex> return <tex>y_n</tex> <tex>\perp</tex> Такие функции перечислимы. Значит, такие функции, удоволетворяющие <tex>A</tex>, тоже перечислимы. <tex>A_{\Gamma} \subseteq A</tex> по первой вспомогательной лемме. <tex>A \subseteq A_{\Gamma}</tex> по второй вспомогательной лемме. Значит, <tex>A = A_{\Gamma}</tex>.}}Примеры неразрешимых задач]]