Изменения

== {{Определение образца =|definition='''Образцом''' (англ. ''pattern'') называется конечное множество слов, объединённое [[Свойства_перечислимых_языков._Теорема_Успенского-Райса|свойством]].}}

Пусть '''Язык <tex>\gamma=\{\langle x_1,y_1\rangle,\langle x_2,y_2\rangle,\ldots ,\langle x_n,y_n\rangle\}L</tex>.удовлетворяет свойству <tex>A<br /tex>Тогда ''', если <tex>L \gammain A</tex> ( этот язык содержится в <tex>A</tex> называется образцом).

Пусть '''Язык <tex>A_{\gamma}=\{p | p(x_1)=y_1 \wedge p(x_2)=y_2 \wedge \ldots \wedge p(x_n)=y_n\}L</tex>, где удовлетворяет образцу <tex>\langle x_i, y_i\rangle \in \gammaX</tex>.<br />Тогда ''', если <tex>A_{\gamma}L</tex> называется свойством образца содержит все элементы <tex>\gammaX</tex>.

 == Лемма о перечислимости свойства образца == {{ЛеммаОпределение|statement definition=Свойство '''Язык <tex>A_{\gamma}L</tex> перечислимо для любого образца удовлетворяет множеству образцов <tex>\gammaGamma</tex>.|proof =Построим полуразрешитель ''', если <tex>A_{\gamma}L</tex>: удовлетворяет хотя бы одному образцу <tex>q(p):</tex> for <tex>\langle x_i, y_i\rangle X \in \gamma</tex> if <tex>p(x_i) \not= y_iGamma</tex> while True return 1Полуразрешителя достаточно для доказательства перечислимости.

|statement =Пусть <tex>\GammaA</tex> {{---}} — перечислимое множество образцовсвойство языков, <tex>A_{\Gamma} = \bigcup\limits_{\gamma G \in \Gamma}{A_{\gamma}}A</tex>.Тогда верно следствие: <tex>A_{G \subset H \Rightarrow H \Gamma}in A</tex> является перечислимым.|proof =Построим полуразрешитель Строим доказательство от противного. Пусть <tex>A_{G \Gamma}in A</tex>: , <tex>q(p):G \subset H</tex> for , <tex>k = 1H \ldots +\inftynotin A</tex> for , <tex>\gamma \in \Gamma[1..k]K</tex>— перечислимое неразрешимое множество. Построим следующую вычислимую функцию: if <tex>f(p x, y) = \begin{cases}x \in H & y \in A_{K\\x \in G & y \notin K\gamma})|_end{TL(k)cases}</tex> return 1Полуразрешителя достаточно для доказательства перечислимости.}}

{{Теорема|statement = <tex>g(x):</tex>Свойство функций '''if''' <tex>Ax \in H</tex> перечислимо тогда и только тогда, когда '''return''' <tex>y \exists \Gamma: A = A_{\Gamma}in K</tex>, где '''if''' <tex>x \Gammain G</tex> {{---}} перечислимое множество образцов.|proof = '''return''' <tex>y \Leftarrownotin K</tex>

Очевидно После этого запустим параллельно проверки <tex>y \in K</tex> и <tex>L(перебор по TLg)\in A</tex>.Если <tex>y \in K</tex>, то первая проверка завершится. Иначе функция <tex>g</tex> задаёт язык <tex>G</tex>, который обладает свойством <tex>A</tex>, следовательно, вторая проверка завершится, сигнализируя о том, что <tex>y \notin K</tex>. Но <tex>K</tex> не является разрешимым множеством, получено противоречие.}}

|statement =Пусть <tex>A</tex> {{---}} — перечислимое свойство функций, <tex>g G \in A</tex>, . Тогда существует конечное множество <tex>hH \in A</tex> {{---}} продолжение , которое является подмножеством <tex>gG</tex>.Тогда |proof=Строим доказательство от противного. Пусть <tex>h G \in A</tex>, и любое конечное подмножество <tex>G</tex> не удовлетворяет свойству <tex>A</tex>, <tex>K</tex> — перечислимое неразрешимое множество.Определим следующую функцию:|proof * <tex>f(x, y) =false</tex>, если за <tex>x</tex> шагов перечисления <tex>K</tex> появилось слово <tex>y</tex>.Докажем от противного* <tex>f(x, y) = x \in G</tex> иначе.Пусть Заметим, что если <tex>g y \in AK</tex>, то <tex>hf(x, y)</tex> {{---}} продолжение распознаёт некоторое конечное подмножество <tex>gG</tex>, и всё множество <tex>h \notin AG</tex>иначе. Рассмотрим перечислимое и неразрешимое множество Эта функция тривиальным образом разрешима, построим с её помощью разрешитель <tex>K</tex> и следующую . Аналогично доказательству первой леммы, подготовим программу<tex>g</tex>:

<tex>V g(n, x) = \begin{cases}: h '''return''' f(x)\text{, if $n \in K$;}\\ g(xy)\text{, else.} \end{cases}</tex>

<tex>V</tex> {{---}} вычислимая (можно После этого параллельно запустить запустим проверки <tex>g(x)y \in K</tex> и проверку, принадлежит ли <tex>n</tex> множеству <tex>K</tex> L(просто перечисляя это множество); если <tex>g(x)\in A</tex> успешно выполнится, то вернуть её результат). Пусть <tex>p(x)=V(nАналогично, x)</tex>.<br>Назовем (1) проверку на принадлежность <tex> n </tex> множеству данная процедура разрешает множество <tex> K </tex> (просто перечисляя это множества), а (2) проверку на принадлежность <tex> p </tex> множеству <tex> A </tex>. Тогда программа, которая параллельно запускает проверки (1) и (2), является разрешающей программой для множества <tex>K</tex>, так как:* если Но <tex>n \in K</tex>, то проверка (1) завершится, а проверка (2) зависнет (<tex>p</tex> ведёт себя как <tex>h</tex>, которая не содержится в <tex>A</tex>); пусть в этом случае разрешающая программа для <tex>K</tex> возвращает 1;* если <tex>n \notin K</tex>, то проверка (1) зависнетявляется разрешимым, а проверка (2) завершится (<tex>p</tex> ведёт себя как <tex>g</tex>, которая содержится в <tex>A</tex>); пусть в этом случае разрешающая программа для <tex>K</tex> возвращает 0. Получили получено противоречие, так как брали <tex>K</tex> неразрешимым .

{{Лемма|statement =Если <tex>A</tex> {{'''Теорема Райса---}} перечислимое свойство функцийШапиро''' позволяет дать простое описание перечислимым свойствам языков. Заметим, <tex>g \in A</tex>что вычислимо работать с произвольными языками возможности нет, то <tex>\exists h</tex> такоепоэтому далее неявно подразумевается, что <tex>|Dom(h)все рассматриваемые языки являются [[Перечислимые языки| < +\infty</tex>, <tex>g</tex> {{---}} продолжение <tex>h</tex>, <tex>h \in A</tex>.|proof =Докажем от противного.Пусть <tex>\not\exists h</tex>, которое удовлетворяет условию леммыперечислимыми]].

Рассмотрим перечислимое Заметим, что образцы являются конструктивными объектами, следовательно, можно говорить о разрешимых и неразрешимое множество <tex>K</tex> и следующую программу:перечислимых множествах образцов.

{{Теорема|about=Райса-Шапиро|statement=Свойство языков <tex>A</tex> перечислимо <tex>V(n, x) = \begin{cases} g(x)iff \text{, if (0);}exists\Gamma : L \ in A \perpiff L \text{, else;} subseteq \end{cases}Gamma.</tex>}}

где условие <tex>(0)</tex> следующее: через <tex>x</tex> шагов перечисления <tex>K</tex> число <tex>n</tex> не появилось.<br>Назовем (1) проверку на принадлежность <tex> n </tex> множеству <tex> K </tex>(просто перечисляя это множества), а (2) проверку на принадлежность <tex> V(n, x) </tex> множеству <tex> A </tex>. Тогда программа, которая параллельно запускает проверки (1) и (2), является разрешающей программой для множества <tex>K</tex>, так как:* если <tex>n \notin K</tex>, то <tex>V(n, x) \equiv g(x)</tex> для <tex>\forall n</tex>, поэтому проверка (2) завершится. Проверка (1) зависнет. Пусть в этом случае разрешающая программа для <tex>K</tex> возвращает 0;* если <tex>n \in K</tex>, то завершится проверка (1). Также, в этом случае <tex>|Dom(V(n, x))| < +\infty</tex>, так как <tex>V(n, x) = g(x)</tex> при <tex>x = 0\ldots t-1</tex> для какого-то <tex>t</tex>. <tex>g</tex> является продолжением <tex>V(n, x)</tex>. По предположению от противного <tex>V(n, x) \notin A</tex> <tex>\Rightarrow</tex> проверка (2) зависнет. Пусть в этом случае разрешающая программа для <tex>K</tex> возвращает 1.

Противоречие: Доказательство в одну сторону тривиально: пусть <tex>\Gamma</tex> — перечислимое множество образцов. Будем обозначать за <tex>\Gamma_i</tex> образец с номером <tex>i</tex>, а за <tex>\Gamma_{ij}</tex> — элемент с номером <tex>j</tex> образца с номером <tex>i</tex>. Далее приведён код полуразрешителя <tex>A</tex>, так как брали неразрешимое который принимает на вход код полуразрешителя <tex>KL</tex> и возвращает значение <tex>L \in A</tex>.}}

Вернёмся к доказательству теоремы<tex>\Leftarrow</tex>:Для доказательства в другую сторону будем использовать две леммы, приведённые выше. Полуразрешитель для множества образцов, удовлетворяющих <tex>\Gamma</tex> строится следующим образом: для каждого образца <tex>\gamma</tex> строится текст программы f<tex>{}_\gamma</tex>(x): '''return''' x <tex>{} \in \gamma</tex>:Текст программы передаётся полуразрешителю <tex>A</tex>.

Функции с конечной областью определения записываются так:Докажем, что данное построение корректно. Обозначим множество образцов, принимаемое построенным выше полурарешителем <tex>\Gamma</tex>. Пусть существует <tex>\gamma \in \Gamma</tex> такой, что <tex>L</tex> удовлетворяет <tex>\gamma</tex>. По определению <tex>\Gamma</tex>, язык <tex>\gamma</tex> удовлетворяет свойству <tex>A</tex>. Язык <tex>L</tex> удовлетворяет свойству <tex>A</tex> по первой лемме как надмножество <tex>\gamma</tex>.

:Пусть <tex>f(x):L \in A</tex> if . Тогда по второй лемме найдётся образец <tex>x = x_1\gamma</tex> return , который является подмножеством <tex>y_1L</tex> и удовлетворяет свойству <tex>\cdotsA</tex> if . Следовательно, этот образец лежит в множестве <tex>x = x_n\Gamma</tex> return и язык <tex>y_nA</tex> удовлетворяет множеству образцов <tex>\perpGamma</tex>, что и требовалось доказать.

Такие функции перечислимы. Значит, такие функции, удоволетворяющие <tex>A</tex>, тоже перечислимы== См.также==

<tex>== Источники информации ==* ''Верещагин Н. К., Шень A \subseteq A_.'' Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. {{\Gamma---}}</tex> по второй вспомогательной леммеМ.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2008. {{---}} С. 528 {{---}} ISBN 978-5-8459-1347-0 (рус.)