| Теорема (Теорема Редеи-Камиона для пути): |
В любом турнире есть гамильтонов путь. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Докажем,что в любом турнире есть гамильтонов путь по индукции по числу вершин n.
- База индукции: n = 3
Очевидно, для n = 3 утверждение верно.
- Индукционный переход
Предположим, что теорема верна для всех турниров с n вершинами. Рассмотрим турнир T с n + 1 вершинами. Пусть [math]v_0[/math] – произвольная вершина турнира T. Тогда турнир T – [math]v_0[/math] имеет n вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь P: [math]v_1v_2...v_n[/math] . Одно из ребер ( [math]v_0[/math], [math]v_1[/math] ) или ( [math]v_1[/math], [math]v_0[/math] ) обязательно содержится в T. Рассмотрим 3 случая:
- Ребро [math] ( v_0, v_1 ) \in T [/math]. Тогда путь [math]v_0v_1v_2...v_n[/math] является гамильтоновым.
- Обозначим через [math]v_i[/math] первую вершину пути P, для которой ребро [math] ( v_0, v_i ) \in T [/math],если такая вершина есть. Тогда в T существует ребро ( [math]v[/math][math]i-1[/math], [math]v_0[/math] )
и путь [math]v_1...v[/math][math]i-1[/math][math]v_0v_i...v_n[/math]– гамильтонов.
- Если такой вершины [math]v_i[/math] нет, тогда гамильтоновым путем будет [math]v_1v_2...v_nv_0[/math].
Итак, в любом случае в турнире существует гамильтонов путь. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема (Теорема Редеи-Камиона для цикла): |
В любом сильно связанном турнире есть гамильтонов цикл. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Докажем, что в любом сильно связанном турнире есть гамильтонов цикл, по индукции по длине цикла.
- База индукции:
Покажем, что в любом сильно связанном турнире T с n вершинами (n >= 3) есть орцикл длины 3. Выберем произвольную вершину [math]v_0[/math] и обозначим через [math]W[/math] множество всех вершин [math]w[/math], таких, что ребро [math] ( v_0, w ) \in T [/math], а через [math]Z[/math] – множество всех вершин [math]z[/math], таких, что ребро [math] ( z, v_0 ) \in T [/math]. Так как T сильно связан, то оба множества [math]W[/math] и [math]Z[/math] не пусты и найдется ребро [math] ( w', z' ) \in T [/math] , где [math]w' \in W , z' \in Z[/math]. Тогда искомым циклом длины 3 будет [math]v_0[/math],[math]w'[/math],[math]z'[/math],[math]v_0[/math].
- Индукционный переход
Покажем, что если турнир T с n вершинами имеет орцикл S = [math]v_1v_2...v_kv_1[/math] длины k < n, то он имеет также орцикл длины k + 1. Рассмотрим 2 случая:
- Существует такая вершина [math]v_0 \notin S [/math] и такая, что найдутся вершины [math]u , w \in S[/math] , такие, что ребра [math] ( v_0 , u ) , ( w , v_0) \in T [/math]. Обозначим за [math]v_1[/math] вершину из S, такую, что ребро [math] ( v_1, v_0 ) \in T [/math]. Пусть [math]v_i[/math] – первая вершина при обходе контура S из [math]v_1[/math], для которой ребро
[math] ( v_0, v_i ) \in T [/math]. Тогда ребро ( [math]v[/math][math]i-1[/math], [math]v_0[/math] ) также содержится в T. Поэтому [math]v_1v_2...v[/math][math]i-1[/math][math]v_0v_i...v_kv_1[/math] – искомый орцикл длины k+1.
- Пусть такой вершины [math]v_0[/math] нет. Тогда разобьем вершины, не принадлежащие S, на два непересекающихся подмножества [math]W[/math] и [math]Z[/math], где [math]W[/math] - множество таких вершин [math]w[/math] , что ребро ( [math]v_i[/math], [math]w[/math] ) для любого [math]i[/math] содержится в T, а [math]Z[/math] – множество таких вершин [math]z[/math], что ребро ( [math]z[/math], [math]v_i[/math] ) для любого [math]i[/math] содержится в T. Так как T сильно связан, то оба множества [math]W[/math] и [math]Z[/math] не пусты и найдется ребро [math] ( w', z' ) \in T [/math] , где [math]w' \in W , z' \in Z[/math]. Тогда [math]v_1 w' z' v_3...v_k v_1[/math] – требуемый орцикл.
Таким образом в любом сильно связанном турнире T с n вершинами будет орцикл длины n, то есть гамильтонов цикл. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Следствие
Турнир является сильно связанным тогда и только тогда, когда он имеет гамильтонов цикл.
Литература
- Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009
