Изменения

|about = о существовании регулярного графа заданного размера с заданным обхватом|statement = Пусть <tex> k, g, n \in </tex> <tex> \mathbb{N} </tex>, причём <tex> k, n \geqslant 3, n > \dfrac{k(k-1)^{g-1} - 2}{k - 2}, kn </tex> чётно. Тогда существует <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph | регулярный граф ]] <tex>G</tex> c обхватом <tex>g(G) = g</tex> и количеством вершин <tex> |V| = n</tex>|proof = Доказательство:Пусть <tex>G_{set}(g, n, k)</tex> {{---}} семейство всех графов с <tex>n</tex> вершинами, обхватом <tex>g</tex> и максимальной степенью вершин не более <tex>k</tex>. При <tex>n</tex> > <tex>g</tex> очевидно, что <tex>G_{set}(g, n, k) \neq \emptyset</tex>: например, этому множеству принадлежит граф, состоящий из простого цикла на <tex>g</tex> вершинах и <tex>n - g</tex> изолированных вершин.

Пусть <tex>v_{<k}(G)</tex> {{---}} количество вершин степени меньше <tex>k</tex> в графе <tex>G</tex>, а <tex>dist_{<k}(G)</tex> {{---}} максимальное из расстояний между парами вершин степени менее <tex>k</tex> в графе <tex>G</tex>. (при <tex>v_{<k}(G) < 2</tex>, положим <tex>dist_{<k}(G) = 0</tex>). Выберем в <tex>G_{set}(g, n, k)</tex> граф следующим образом: сначала выберем все графы с максимальным количеством рёбер, затем из них выберем графы с максимальным <tex>v_{<k}</tex>, и, наконец, из оставшихся выберем граф <tex>G</tex> c максимальным <tex>dist_{<k}(G)</tex>. Если таких графов несколько, выберем любой.

# [[Файл:Татт 1) .png|300px|thumb|right|Расположение вершины <tex>z</tex> относительно вершин <tex>x</tex> и <tex>y</tex>]] Если <tex>dist_G(x, y) \geqslant g - 1</tex>, то соединим их ребром и получим граф <tex>G' = G \cup xy, G'\in G_{set}(g, n, k)</tex>, при этом <tex>|E(G')| > |E(G)|</tex> (так как в графе <tex>G'</tex> есть все те рёбра, которые есть в <tex>G</tex>, и ребро <tex>xy</tex>). Значит, граф <tex>G</tex> не может быть выбран из множества <tex>G_{set}(g, n, k)</tex>, так как у него не максимальное количество рёбер. 2) # Так <tex>d_G(x), d_G(y) \leqslant k - 1 </tex>, а степени остальных вершин графа не более <tex>k</tex>, то на расстоянии не более <tex>g - 1</tex> от <tex>y</tex> находится не более чем <tex>1 + (k - 1) + \ldots + (k - 1)^{g - 1} = \sum\limits_{n=0}^{g - 1} (k - 1)^n = \dfrac{(k-1)^{g} - 1}{k - 2}</tex> вершин графа, а на расстоянии не более <tex>g - 2</tex> от <tex>x</tex> находится не более чем <tex>1 + (k - 1) + \ldots + (k - 1)^{g - 2} = \sum\limits_{n=0}^{g - 2} (k - 1)^n =\dfrac{(k-1)^{g - 1} - 1}{k - 2}</tex> вершин. Так как <tex>\dfrac{(k-1)^{g - 1} - 1}{k - 2} + \dfrac{(k-1)^{g} - 1}{k - 2} = \dfrac{k(k-1)^{g-1} - 2}{k - 2}</tex>, а <tex> n > \dfrac{k(k-1)^{g-1} - 2}{k - 2}</tex>, то по условию теоремы лемме существует такая вершина <tex>z</tex>, что <tex>dist(x, z) \geqslant g - 1</tex> и <tex>dist(y, z) \geqslant g</tex>.  Рассмотрим случай 2а) ## <tex>d_G(z) < k</tex>. В таком случае, <tex>d_G(z) < k, d_G(y) < k, dist_G(y, z) \geqslant g</tex>, что невозможно, согласно пункту 1. В таком случае:## <tex>d_G(z) = k \geqslant 3</tex>, следовательно, существует ребро <tex>zu \in E(G)</tex>, через которое проходят не все простые циклы длины <tex>g</tex> графа <tex>G</tex>, тогда <tex>g(G \setminus zu) = g(G) = g</tex>

2б) <tex>d_G(z) = k \geqslant 3</tex>, следовательно, существует ребро [[Файл:Татт 2.png|300px|thumb|left|Получение графа <tex>zu \in E(G)</tex>, через которое проходят не все простые циклы длины <tex>g'</tex> из графа <tex>G</tex>, тогда <tex>g(G \setminus zu) = g(G) = g</tex>]]

Пусть <tex>G' = G \setminus zu \cup zx</tex>. ИзТогда из

<center> <tex> dist_G(y, u) \geqslant dist_G(y, z) - 1 \geqslant g - 1 > dist_G(x, y) = dist_{<k}(G) ~~~ \textbf{(1)} </tex>. </center>

Следуетследует, что <tex>d_G(u) = k</tex>.

<tex>g(G') = g(G) = g, |E(G')| = |e(G)| - 1 + 1 = |E(G)| </tex>. Тогда

<center> <tex> d_{G'}(x) = d_G(x) + 1 \leqslant k, d_{G'}(u) = d_G(u) - 1 = k - 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>

<center> <tex> dist_{G'}(y, u) = dist_G(y, u) \geqslant g - 1 > dist_G(y, x) </tex> </center>

<center> <tex> dist_{G'}(y, u) = \min(dist_G(y, x), dist_G(y, z)) + 1 > dist_G(y, x) </tex>, </center>

<center> <tex> dist_{<k}(G') \geqslant dist_{G'}(y, u) > dist_G(y, x) dist_{<k}(G) </tex> </center>

Получили противоречие с принципом выбора графа <tex>G</tex>, что доказывает, что <tex>G</tex> {{---}} <tex>k</tex>{{---}}регулярный.