Теорема Фейера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (пофиксил недочеты в первой половине статьи)
Строка 1: Строка 1:
{{TODO|t=вычитывай@дополняй@викифицируй}}
+
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>
  
<tex>f \in L_1</tex>,<tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>
+
<tex>(\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f))</tex>
 
 
<tex>\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f)</tex>  
 
  
 
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной  
 
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной  
Строка 17: Строка 15:
 
|proof=
 
|proof=
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Точка <tex>x</tex> принято называть ''регулярной'', если
+
|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
 
в этой точке существуют односторонние пределы.
 
в этой точке существуют односторонние пределы.
 
}}
 
}}
 
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.  
 
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.  
  
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна.
+
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна, то есть, <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>.
<tex>f(x + t) \stackrel{\to}{t\to +0} f(x + 0), f(x - t) \stackrel{\to}{t\to -0} f(x - 0) \Rightarrow \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>
 
  
Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>
+
Тогда <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>.
  
И интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>
+
Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>,
  
Тем самым, в регулярной точке, <tex>s = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2</tex>
+
и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Тем самым, в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.
  
 
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции  
 
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции  
Строка 40: Строка 39:
 
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex>
 
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex>
  
<tex>\delta_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>
+
<tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>
  
 
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
 
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
  
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt</tex>
+
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt</tex>.
  
 
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.
 
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.
  
<tex>h_n \stackrel{\mathrm{def}}= \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex> при <tex>n > 3</tex>.
+
Пусть <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
 
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex>
+
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex> и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)
А также, <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)
 
  
 
<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>
 
<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>
  
<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2</tex>, <tex>n + 1 \leq 2n</tex>
+
<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n</tex>
  
Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq</tex><tex>\frac1n \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>
+
Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>.
  
По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>
+
По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
+
|statement=
 +
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>
+
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.
  
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t)</tex>
+
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>
  
(<tex>\Phi</tex> {{---}} первообразная)
+
<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>
  
(Проинтегрируем по частям) <tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>
+
(<tex>\Phi</tex> {{---}} первообразная; проинтегрируем по частям)
 +
 
 +
<tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>
  
 
Оценим каждое из слагаемых.
 
Оценим каждое из слагаемых.
Строка 92: Строка 93:
  
 
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число <tex>h_n \to 0</tex>.
 
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число <tex>h_n \to 0</tex>.
 +
}}
  
 
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
 
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
}}
 
 
}}
 
}}
  
Строка 104: Строка 105:
 
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
 
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
  
Устновим теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
+
Установим теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 146: Строка 147:
 
<tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>
 
<tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>
  
По определению предела, теорема доказана
+
По определению предела, теорема доказана.
 
}}
 
}}

Версия 00:32, 10 июня 2012

Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt[/math]

[math](\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f))[/math]

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к [math]f[/math] либо в индивидуальной точке, либо в пространстве [math]L_p[/math] (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера — тригонометрический полином: [math]\sigma_n(f) \in H_n[/math].

Теорема (Фейер):
Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]s \in \mathbb{R}[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math],

[math]\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0[/math]. Тогда

[math]\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Определение:
Точку [math]x[/math] принято называть регулярной, если в этой точке существуют односторонние пределы.

Например, любая точка непрерывности — регулярная.

Пусть точка [math]x[/math] регулярна, то есть, [math]f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) [/math].

Тогда [math] \forall\varepsilon\exists\delta : 0 \lt t \lt \delta : |f(x + t) - f(x - t)| \lt \varepsilon[/math].

Значит, для таких [math]t[/math]: [math]|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| \lt 2\varepsilon[/math],

и интересующий нас интеграл [math]\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon[/math].

Тем самым, в регулярной точке, [math]\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 [/math].

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.

Часто всё это называют следствием Фейера о двух пределах.

Теперь, собственно, доказательство.

[math]\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s[/math]

[math]\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt[/math]

Надо доказать, что этот интеграл при [math]n\to\infty[/math] стремится к [math]0[/math].

Воспользуемся положительностью [math]\Phi_n[/math]: [math]|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt[/math].

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.

Пусть [math]h_n = \frac1n[/math], [math]\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi[/math].

Утверждение:
[math]\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0[/math]
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенствами [math]|\sin nt| \leq n|\sin t|[/math] и [math]\frac2\pi t \leq \sin t \leq t[/math] ([math]t \in [0; \frac\pi2][/math])

[math]\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2[/math]

[math]\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n[/math]

Значит, [math]\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt[/math].

По условию теоремы, [math]\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math]\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1[/math], [math]\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2[/math].

[math]\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq[/math][math]\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq[/math]

[math]\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = [/math][math]\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = [/math][math]\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = [/math]

([math]\Phi[/math] — первообразная; проинтегрируем по частям)

[math]= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)[/math]

Оценим каждое из слагаемых.

Первое слагаемое.

[math]h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)[/math] [math]h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0[/math] [math]h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0[/math] по условию теоремы.

Второе слагаемое [math]h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = [/math][math]h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt[/math] [math]\forall\varepsilon\exists\delta : 0 \lt t \lt \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy \lt \varepsilon[/math] начиная с [math]n : h_n \lt \delta[/math]

Тогда [math]h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{=}{h_n \lt \delta} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi[/math]

[math]h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt \lt \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = [/math][math]\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon[/math]

Второй интеграл [math]h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0[/math], так как [math]\int\limits_\delta^\pi[/math] — число [math]h_n \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
[math]\triangleleft[/math]

Важный момент. Если в теореме Фейера [math]f \in C[/math], теорема выполнена в каждой точке [math]x[/math], и, самое важное, равномерно по [math]x[/math].

В этом случае, [math]\sigma_n(f) \stackrel[n \to \infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f[/math]

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по [math]x[/math] (из теоремы Кантора: [math]f[/math] — непрерывно на [math][a; b][/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]f[/math] — равномерно непрерывна на нём)

Установим теорему Фейера в [math]L_p[/math].

Теорема (Фейер):
[math]f\in L_p \Rightarrow \|f - \delta_n(f)\|_p \stackrel{[n\to\infty]}{\to} 0[/math]


TODO: тут что-то явно не так, глобально

[math]\delta_n(f) \in H_n[/math], [math]E_n(f)_p \leq \|f-\delta_p(f)\|_p[/math]

Теорема (Вейерштрасс):
[math]f \in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \stackrel{[n\to\infty]}{\to} 0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
TODO: запилить!
[math]\triangleleft[/math]

{{теорема |statement=[math]C[/math] {{---}] всюду плотно в [math]L_p[/math] : [math]\forall\varepsilon\gt 0\forall f\in L_p\exists g\in C : \|f - g\|\lt \varepsilon[/math] |proof=Используем тот факт, что в [math]C[/math] теорема Фейера выполнена: Суммы Фейера сходятся равномерно на [math]\mathbb{R}[/math][math]\Rightarrow[/math][math]f\in C[/math][math]\delta_n(f) \stackrel[n\to\infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} s[/math]

[math]\forall g \in L_p : \|\delta_n(g) - g\|_p[/math]

По только что доказанной теореме, [math]\forall\varepsilon\gt 0\exists\varphi\in C : \|g-\varphi\|\lt \varepsilon[/math]

[math]\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq[/math][math]\|\sigma_n(g-\varphi)\|_p [\leq\|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon] + \|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq[/math]

Значит, [math]\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p[/math]

[math]\forall f\in C : \|f\|_p^p \leq \int\limits_Q|f(t)|^p dt[/math]

[math]|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p[/math][math]\Rightarrow[/math][math]\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p[/math]

[math]\varphi\in C[/math], [math]\sigma_n(\varphi) \in C[/math], [math]\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C[/math], [math]\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty[/math]

[math]\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p[/math]

Но в [math]C[/math] верна теорема Фейера: [math]\forall \varepsilon\gt 0\exists N \forall n \gt N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty \lt \varepsilon[/math]

[math]\forall n \gt N\forall\varepsilon \gt 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon[/math]

По определению предела, теорема доказана. }}