Изменения

{{TODO[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|t=вычитывай@дополняй@викифицируй}}<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]

Пусть <tex>f \in L_1</tex>,<tex>\sigma sigma_n (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>

<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n s_kS_k(f))</tex>

{{Определение|definition=Точка <tex>x</tex> принято называть ''регулярной'', еслив этой точке существуют односторонние пределы.}}Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.  Пусть точка <tex>x</tex> регулярна. <tex>f(x + t) \stackrel{\to}{t\to +0} f(x + 0), f(x - t) \stackrel{\to}{t\to -0} f(x - 0) \Rightarrow \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex> Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex> И интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex> Тем самым, в регулярной точке, <tex>s = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2</tex> В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.  Часто всё это называют следствием Фейера о двух пределах. Теперь, собственно, доказательство.  <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - + t) + f(x + - t) - 2s</tex>

Используя результаты, полученные [[Интеграл_Фейера|здесь]], <tex>\delta_nsigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>

Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t)| dt</tex> Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n \stackrel{\mathrm{def}}= \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex> при <tex>n > 3</tex>, и рассмотрим по отдельности.

|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex>А также, и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)

<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2</tex>, <tex>\ n + 1 \leq 2n</tex>

Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq</tex><tex>\frac1n frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>.

По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>.

|statement=<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>

<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.

<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t)</tex>

(<tex>\Phileq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex> <tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{---h_n}^\pi \frac1{t^2} первообразнаяd\Phi_x(t)= </tex>

(Проинтегрируем <tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям. '''Здесь <tex>\Phi_x(t) </tex> {{---}} НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл''') <tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.

Первое слагаемое.(<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>): <tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)</tex> - константа, <tex> h_n \to 0</tex>;

Второе слагаемое: 

По условию теоремы, <tex> \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 </tex>. Распишем это по определению: <tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex>. Пусть, начиная с какого-то <tex>N</tex>, <tex> h_n < \delta</tex> Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{=}{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>

Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.}}

Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]

Важный момент. Если в теореме {{Утверждение|about=следствие Фейера о двух пределах|statement=Пусть точка <tex>f \in Cx</tex>— регулярная, теорема выполнена тогда в каждой точке ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>, и, самое важное, равномерно по |proof=Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x+ 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>. Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>, и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>. Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>. В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке. }}  Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex> (непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть, В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel[{n \to \infty]}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R}}{\rightrightarrows} f</tex>.

Устновим == Теорема Фейера в L_p ==Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>. {{Утверждение|statement=<tex>f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p </tex>|proof=Так как <tex> \sigma_n(f) \in H_n </tex>, то <tex> \sigma_n(f) \in L_p </tex>. <tex> \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt </tex>. <tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>) <tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex> (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве: <tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (по [[Теорема Фубини|теореме Фубини]] меняем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>. Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое. }}

|author=Фейер|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \delta_nsigma_n(f)\|_p \stackrelxrightarrow[n\to\infty]{}{\to} 0</tex>.|proof= }}<tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p</tex>

{{TODO|t=тут Используем тот факт, что-в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена, то явно не такесть, глобально}для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на <tex> \mathbb{R}</tex>:

<tex>\delta_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_nC \Rightarrow \sigma_n(f)_p \leq stackrel{\|mathbb{R}}{\rightrightarrows} f-,\delta_p(f)n \to \|_pinfty</tex>.

{{Теорема|author=Вейерштрасс|statement=Рассмотрим произвольную функцию <tex>f g \in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \stackrel[n\to\infty]{}{\to} 0</tex>|proof={{TODO|t=запилить!}}}}.

{{теорема[[Пространство L_p(E)|statement=Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> {{---}] всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall fg\in L_p\exists g\varphi \in C : \|f g - g\varphi\|_p<\varepsilon</tex>|proof=Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена:Суммы Фейера сходятся равномерно на <tex>\mathbb{R}</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>f\in C</tex><tex>\delta_n(f) \stackrel[n\to\infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} s</tex>.

<tex>\forall |\sigma_n(g) - g \in L_p : |_p = \|(\delta_nsigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g- \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p\leq</tex>(по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)

По только что доказанной теореме, <tex>\forallleq \varepsilon>0|\existssigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\in C : underbrace{\|g-\varphi\|<_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\varepsilon|_p </tex>.

По доказанному только что утверждению, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex><tex>\|\sigma_n(g-\varphi)\|_p [\leq\|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon] + \|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq</tex>.

<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p \leq = \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>.

<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>

<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex> <tex>\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty</tex> <tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>,  <tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>

Но Так как в <tex>C</tex> верна теорема Фейера: , то <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>

Значит, <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p} ) \varepsilon</tex>, и теорема верна по определению предела.}}

По определению предела, теорема доказана{{Теорема|author=Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.|proof=Эту теорему принято также называть '''обобщенной теоремой Вейерштрасса'''. Любая сумма Фейера <tex>\sigma_n(f)\in H_n</tex>. Исходя из определения наилучшего приближения <tex>E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|_p</tex>. Значит <tex>E_n(f)_p \to 0</tex>.