Теорема Фейера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (пофиксил недочеты в первой половине статьи)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 23 промежуточные версии 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>
+
[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]
  
<tex>(\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f))</tex>
+
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma_n (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>
 +
 
 +
<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))</tex>
  
 
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной  
 
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной  
Строка 7: Строка 9:
  
 
Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.
 
Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.
 +
 +
__TOC__
 +
 +
== Теорема Фейера в L_1 ==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 14: Строка 20:
 
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
 
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
 
|proof=
 
|proof=
{{Определение
+
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex>
|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
 
в этой точке существуют односторонние пределы.
 
}}
 
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.
 
 
 
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна, то есть, <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>.
 
 
 
Тогда <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>.
 
 
 
Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>,
 
 
 
и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>.
 
 
 
Тем самым, в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.
 
 
 
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции
 
в данной точке.
 
 
 
Часто всё это называют следствием Фейера о двух пределах.
 
 
 
Теперь, собственно, доказательство.
 
 
 
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex>
 
  
<tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>
+
Используя результаты, полученные [[Интеграл_Фейера|здесь]], <tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>
  
 
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
 
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
  
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt</tex>.
+
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt</tex>.
 
 
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.
 
  
Пусть <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>.
+
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>, и рассмотрим по отдельности.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
+
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
 
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex> и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)
 
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex> и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)
  
Строка 64: Строка 45:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
+
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.
 
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.
Строка 70: Строка 51:
 
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>
 
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>
  
<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>
+
<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>
  
(<tex>\Phi</tex> {{---}} первообразная; проинтегрируем по частям)
+
(<tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям. '''Здесь <tex>\Phi_x(t)</tex> {{---}} НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл''')
  
<tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>
+
<tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.
  
 
Оценим каждое из слагаемых.
 
Оценим каждое из слагаемых.
  
Первое слагаемое.
+
Первое слагаемое (<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>):
 +
 
 +
<tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)</tex> - константа, <tex> h_n \to 0</tex>;
  
<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>
 
<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0</tex>
 
 
<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.
 
<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.
  
Второе слагаемое
+
Второе слагаемое:
 +
 
 
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>
 
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>
<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex> начиная с <tex>n : h_n < \delta</tex>
 
  
Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{=}{h_n < \delta} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>
+
По условию теоремы, <tex>  \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 </tex>. Распишем это по определению:
 +
 
 +
<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Пусть, начиная с какого-то <tex>N</tex>, <tex> h_n < \delta</tex>
 +
 
 +
Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>
  
 
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>
 
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>
  
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число <tex>h_n \to 0</tex>.
+
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана.
 
}}
 
}}
  
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
+
{{Определение
 +
|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
 +
в этой точке существуют односторонние пределы.
 +
}}
 +
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|about=
 +
следствие Фейера о двух пределах
 +
|statement=
 +
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.
 +
 
 +
Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,
 +
 
 +
и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.
 +
 
 +
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
 
}}
 
}}
  
Важный момент. Если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex>, теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>.
 
  
В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel[n \to \infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f</tex>
+
Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex> (непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть,
 +
 
 +
В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R} </tex>.
  
 
Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>  
 
Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>  
 
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
 
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
  
Установим теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
+
== Теорема Фейера в L_p ==
 +
Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex>f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p </tex>
 +
|proof=
 +
Так как <tex> \sigma_n(f) \in H_n </tex>, то <tex> \sigma_n(f) \in L_p </tex>.
 +
 
 +
<tex> \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt </tex>.
 +
 
 +
<tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>)
 +
 
 +
<tex>=  \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le  (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex> (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:
 +
 
 +
<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (по [[Теорема Фубини|теореме Фубини]] меняем порядок интегрирования)
 +
 
 +
<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.
 +
 
 +
Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое.
 +
 
 +
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|author=Фейер
+
|author=
|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \delta_n(f)\|_p \stackrel{[n\to\infty]}{\to} 0</tex>
+
Фейер
}}
+
|statement=
 +
<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
 +
|proof=
 +
 
 +
<tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p</tex>
  
{{TODO|t=тут что-то явно не так, глобально}}
+
Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на <tex> \mathbb{R}</tex>:
  
<tex>\delta_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\delta_p(f)\|_p</tex>
+
<tex>f\in C \Rightarrow \sigma_n(f) \stackrel{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n \to \infty</tex>.
  
{{Теорема
+
Рассмотрим произвольную функцию <tex> g \in L_p </tex>.
|author=Вейерштрасс
 
|statement=<tex>f \in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \stackrel{[n\to\infty]}{\to} 0</tex>
 
|proof={{TODO|t=запилить!}}
 
}}
 
  
{{теорема
+
[[Пространство L_p(E)|Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p<\varepsilon</tex>.
|statement=<tex>C</tex> {{---}] всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall f\in L_p\exists g\in C : \|f - g\|<\varepsilon</tex>
 
|proof=Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена:
 
Суммы Фейера сходятся равномерно на <tex>\mathbb{R}</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>f\in C</tex><tex>\delta_n(f) \stackrel[n\to\infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} s</tex>
 
  
<tex>\forall g \in L_p : \|\delta_n(g) - g\|_p</tex>
+
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex> (по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)
  
По только что доказанной теореме, <tex>\forall\varepsilon>0\exists\varphi\in C : \|g-\varphi\|<\varepsilon</tex>
+
<tex>\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.
  
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex><tex>\|\sigma_n(g-\varphi)\|_p [\leq\|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon] + \|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq</tex>
+
По доказанному только что утверждению, <tex> \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon </tex>.
  
 
Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
 
Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
  
<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p \leq \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>
+
<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p = \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>.
  
<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>
+
<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex>
  
<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>, <tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>
+
<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex>
 +
 
 +
<tex>\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty</tex>
 +
 
 +
<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>
 +
 
 +
<tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>
  
 
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
 
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
  
Но в <tex>C</tex> верна теорема Фейера: <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>
+
Так как в <tex>C</tex> верна теорема Фейера, то <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>
 +
 
 +
Значит, <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon</tex>, и теорема верна по определению предела.
 +
}}
  
<tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>
+
{{Теорема
 +
|author=
 +
Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>
 +
|statement=
 +
<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
 +
|proof=
 +
Эту теорему принято также называть '''обобщенной теоремой Вейерштрасса'''.
  
По определению предела, теорема доказана.
+
Любая сумма Фейера <tex>\sigma_n(f)\in H_n</tex>. Исходя из определения наилучшего приближения <tex>E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|_p</tex>. Значит <tex>E_n(f)_p \to 0</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022

<<>>

Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]\sigma_n (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt[/math]

[math](\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))[/math]

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к [math]f[/math] либо в индивидуальной точке, либо в пространстве [math]L_p[/math] (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера — тригонометрический полином: [math]\sigma_n(f) \in H_n[/math].

Теорема Фейера в L_1

Теорема (Фейер):
Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]s \in \mathbb{R}[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math],

[math]\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0[/math]. Тогда

[math]\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s[/math]

Используя результаты, полученные здесь, [math]\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt[/math]

Надо доказать, что этот интеграл при [math]n\to\infty[/math] стремится к [math]0[/math].

Воспользуемся положительностью [math]\Phi_n[/math]: [math]|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt[/math].

Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: [math]h_n = \frac1n[/math], [math]\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi[/math], и рассмотрим по отдельности.

Утверждение:
[math]\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0[/math]
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенствами [math]|\sin nt| \leq n|\sin t|[/math] и [math]\frac2\pi t \leq \sin t \leq t[/math] ([math]t \in [0; \frac\pi2][/math])

[math]\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2[/math]

[math]\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n[/math]

Значит, [math]\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt[/math].

По условию теоремы, [math]\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math]\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1[/math], [math]\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2[/math].

[math]\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq[/math][math]\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq[/math]

[math]\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = [/math][math]\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = [/math]

([math]\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy [/math]; проинтегрируем по частям. Здесь [math]\Phi_x(t)[/math] — НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл)

[math]= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)[/math].

Оценим каждое из слагаемых.

Первое слагаемое ([math]h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)[/math]):

[math]\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)[/math] - константа, [math] h_n \to 0[/math];

[math]h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0[/math] по условию теоремы.

Второе слагаемое:

[math]h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = [/math][math]h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt[/math]

По условию теоремы, [math] \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 [/math]. Распишем это по определению:

[math]\forall\varepsilon\exists\delta : 0 \lt t \lt \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy \lt \varepsilon[/math].

Пусть, начиная с какого-то [math]N[/math], [math] h_n \lt \delta[/math]

Тогда [math]h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n \lt \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi[/math]

[math]h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt \lt \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = [/math][math]\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon[/math]

Второй интеграл [math]h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0[/math], так как [math]\int\limits_\delta^\pi[/math] — константа для данного [math]\delta[/math], а [math]h_n \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Точку [math]x[/math] принято называть регулярной, если в этой точке существуют односторонние пределы.

Например, любая точка непрерывности — регулярная.

Утверждение (следствие Фейера о двух пределах):
Пусть точка [math]x[/math] — регулярная, тогда в ней [math]\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 [/math]
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} [/math].

Так как [math]f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) [/math], по определению предела [math] \forall\varepsilon\exists\delta : 0 \lt t \lt \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| \lt \varepsilon[/math].

Для таких [math]t[/math]: [math]|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| \lt 2\varepsilon[/math],

и интересующий нас интеграл [math]\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon[/math].

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, [math]\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 [/math].

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
[math]\triangleleft[/math]


Заметим, что если в теореме Фейера [math]f \in C[/math] (непрерывные [math]2\pi[/math]-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке [math]x[/math], и, самое важное, равномерно по [math]x[/math], то есть,

В этом случае, [math]\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f[/math] на [math] \mathbb{R} [/math].

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по [math]x[/math] (из теоремы Кантора: [math]f[/math] — непрерывно на [math][a; b][/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]f[/math] — равномерно непрерывна на нём)

Теорема Фейера в L_p

Установим теперь теорему Фейера в [math]L_p[/math].

Утверждение:
[math]f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p [/math]
[math]\triangleright[/math]

Так как [math] \sigma_n(f) \in H_n [/math], то [math] \sigma_n(f) \in L_p [/math].

[math] \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt [/math].

[math] |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = [/math] (возьмем [math] q:\ \frac1p + \frac1q = 1 [/math])

[math]= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}[/math] (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен [math] 1 [/math]. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:

[math] \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = [/math] (по теореме Фубини меняем порядок интегрирования)

[math] = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =[/math] [math]\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx [/math].

Возводя неравенство в степень [math] \frac1p [/math], получаем требуемое.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Фейер):
[math]f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\sigma_n(f) \in H_n[/math], [math]E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p[/math]

Используем тот факт, что в [math]C[/math] теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на [math] \mathbb{R}[/math]:

[math]f\in C \Rightarrow \sigma_n(f) \stackrel{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n \to \infty[/math].

Рассмотрим произвольную функцию [math] g \in L_p [/math].

Ранее нами уже было доказано, что пространство [math]C[/math] всюду плотно в [math]L_p[/math] : [math]\forall\varepsilon\gt 0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p\lt \varepsilon[/math].

[math]\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq[/math] (по записи интеграла Фейера очевидно [math]\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)[/math])

[math]\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p [/math].

По доказанному только что утверждению, [math] \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon [/math].

Значит, [math]\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p[/math]

[math]\forall f\in C : \|f\|_p^p = \int\limits_Q|f(t)|^p dt[/math].

[math]|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|[/math]

[math]\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p[/math]

[math]\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty[/math]

[math]\varphi\in C[/math], [math]\sigma_n(\varphi) \in C[/math], [math]\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C[/math]

[math]\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty[/math]

[math]\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p[/math]

Так как в [math]C[/math] верна теорема Фейера, то [math]\forall \varepsilon\gt 0\exists N \forall n \gt N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty \lt \varepsilon[/math]

Значит, [math]\forall n \gt N\forall\varepsilon \gt 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon[/math], и теорема верна по определению предела.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Теорема Вейерштрасса в [math]L_p[/math]):
[math]f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Эту теорему принято также называть обобщенной теоремой Вейерштрасса.

Любая сумма Фейера [math]\sigma_n(f)\in H_n[/math]. Исходя из определения наилучшего приближения [math]E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|_p[/math]. Значит [math]E_n(f)_p \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

<<>>