1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>
<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n s_kS_k(f))</tex>
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.
{{Утверждение|about=следствие Фейера о двух пределах|statement=Пусть точка <tex>x</tex> регулярна, то есть— регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f(, x + t) = \xrightarrow[t\to +0]frac{} f(x + 0), + f(x - t0) }2 </tex>|proof=Пусть <tex>s = \xrightarrow[t\to frac{f(x -0]{} ) + f(x - + 0) }{2} </tex>.
и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>.
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке. }}
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t)| dt</tex>.
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Пусть Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>, и рассмотрим по отдельности.
{{Утверждение
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex>
<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi4 pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>
(<tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям)
<tex>= \frac\pi4 pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.
Оценим каждое из слагаемых.
Первое слагаемое (<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>):
<tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0</tex> - числоконстанта, <tex> h_n \to 0</tex>;
<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.
Второе слагаемое:
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{TODO|t^3} dt =очень сумбурно написано, переписать на что-то более читабельное или передоказать</tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2}dt</tex>
По условию теоремы, <tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dtto 0 </tex>. Распишем это по определению: <tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex> . Пусть, начиная с какого-то <tex>N</tex>, <tex>n : h_n < \delta</tex>
Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.
}}
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
}}
