689
правок
Изменения
м
{{TODO|Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t=вычитывай@дополняй@викифицируй}}) \Phi_n(t)dt</tex>
Значит, для таких Тогда <tex>t</tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| < \leq delta : |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>.
И интересующий нас интеграл Значит, для таких <tex>\frac1t\int\limits_0^t</tex>: <tex>|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>,
}}
Устновим Установим теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
пофиксил недочеты в первой половине статьи
<tex>f \in L_1</tex>,<tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex> <tex>\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f))</tex>
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
|proof=
{{Определение
|definition=Точка Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна. , то есть, <tex>f(x + t) \stackrel{\to}{xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \stackrel{\to}{xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) \Rightarrow \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>.
и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>. Тем самым, в регулярной точке, <tex>s \lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2</tex>.
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex>
<tex>\delta_nsigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt</tex>.
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.
Пусть <tex>h_n \stackrel{\mathrm{def}}= \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex> при <tex>n > 3</tex>.
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex>А также, и <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)
<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>
<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2</tex>, <tex>\ n + 1 \leq 2n</tex>
Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq</tex><tex>\frac1n frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>.
По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>.
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t)</tex>
<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\Phifrac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex> <tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{---t^2}} первообразнаяd\Phi_x(t)= </tex>
(Проинтегрируем <tex>\Phi</tex> {{---}} первообразная; проинтегрируем по частям) <tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>
Оценим каждое из слагаемых.
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число <tex>h_n \to 0</tex>.
}}
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
}}
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
{{Теорема
<tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>
По определению предела, теорема доказана.
}}
