<<>>
Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]\sigma_n (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt[/math]
[math](\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))[/math]
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к [math]f[/math] либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве [math]L_p[/math] (по норме этих пространств).
Любая сумма Фейера — тригонометрический полином: [math]\sigma_n(f) \in H_n[/math].
Теорема Фейера в L_1
| Теорема (Фейер): |
Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]s \in \mathbb{R}[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math],
[math]\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0[/math]. Тогда
[math]\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s[/math]
Используя результаты, полученные здесь, [math]\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt[/math]
Надо доказать, что этот интеграл при [math]n\to\infty[/math] стремится к [math]0[/math].
Воспользуемся положительностью [math]\Phi_n[/math]: [math]|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt[/math].
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: [math]h_n = \frac1n[/math], [math]\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi[/math], и рассмотрим по отдельности.
| Утверждение: |
[math]\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)} | |