Невозможность [[Категория:Параллельное программирование]]Теорема Фишера, Линча и Патерсона (FLP, 1985 год): невозможно достичь даже необоснованного [[Консенсус в распределённой системе|консенсуса в асинхронной системе]] с $N>2$ процессами даже на одном бите при следующих условиях:* Алгоритм должен завершиться за конечное время.* Один из узлов [[Иерархия ошибок в распределённых системах|отказом узламожет отказать]] при детерминированном алгоритме (FLP)(Фишер-Линч-Патерсон)* Система [[Асинхронные и синхронные распределённые системы|асинхронна]]* Алгоритм должен быть детерминирован.
4 требования/предпосылки:Если разрешаем незавершаемость в случае отказов, есть [[Paxos]] и [[Raft]].* Система асинхронна (Если отказов нет предела времени доставки сообщения)* (Один) узел может отказать (crash), есть [[Консенсус в распределённой системе#Решение при отсутствии отказов|простой алгоритм]].* Консенсус надо достичь за конечное времяЕсли система синхронна, то есть [[консенсус в синхронных системах]].* Детерминированный Если разрешаем недетерминизм, то есть [[алгоритм консенсусаБен-Ора]].
'''ТЕОРЕМА'''При этом даже если разрешить одновременную посылку сообщения сразу нескольким процессам (как в [[Общий порядок сообщений|общем порядке сообщений]]) и тем самым запретить процессу падать при массовой рассылке сообщений, лучше не станет: Невозможно достичь нет гарантии, в каком порядке и как скоро эти сообщения будут получены и обработаны получателями.А вот если какую-нибудь гарантию дадим, то получаем [[Переформулировки консенсуса N процессамв распределённой системе#Terminating Reliable Broadcast (TRB)|TLB]], даже на множестве значений из двух элементов 0 и 1которого сразу выводится консенсус.
Соответственно, можно придти к консенсусу, если:== Доказательство ==* сделать сеть синхронной (ограничить время доставки сообщений)* сделать алгоритм недетерминированным (случайным)* ослабить требования при которых в алгоритме обязан быть прогресс (тИз презентации Р.еЕлизарова. он обязан завершаться)
TODOОт противного: пусть есть такой алгоритм, тогда мы проанализируем варианты его исполнения, подстроим порядок доставки сообщений (без откладывания сообщений бесконечно далеко), получим бесконечную цепочку выполнения и противоречие с конечностью алгоритма. === Модель ==={{Определение|definition='''Процесс''' — это детерминированный автомат, который может выполнять три операции:* <code>receive() : msg</code> — бесконечная блокировка до получения ближайшего сообщения. Так как система асинхронна, возможности "посмотреть следующее сообщение" или ''таймаутов нет''.* <code>send(msg)</code> — отправка сообщения другому процессу. Гарантируется, что сообщение дойдёт получателю за конечное время, но это время может быть сколь угодно большим.* <code>decided(value)</code> — процесс принял решение <code>value</code>. Решение процесс может принять только один раз, но после этого он ''может продолжить выполняться'' и помогать остальным процессам.Заметим, что так как нет "времени", можно считать все переходы в процессе мгновенными.}}Для доказательства от противного у нас есть такой алгоритм для процессов, что все они вызывают <code>decided(value)</code> с одинаковым значением через конечное время, независимо от того, как система задерживает сообщения.{{Определение|definition='''Конфигурация''' — это состояния всех процессов плюс все сообщения в пути (которые отправили, но ещё не доставили).}}В начальной конфигурация у каждого процесса может быть сколько угодно входных данных и даже своя программа.Начальных конфигураций может быть несколько, они могут отличаться, например, предложениями процессов.{{Определение|definition='''Шаг''' из одной конфигурации в другую — это приём какого-то сообщения процессом (событие) и последовавшие за этим внутренние действия процесса до следующего <code>receive()</code>. Эти действия ''однозначно'' определяются предыдущей конфигурацией и событием.}}{{Определение|definition='''Исполнение''' — это ''бесконечная'' цепочка шагов из какой-нибудь начальной конфигурации. Бесконечная, потому что процессы могут выполняться и после принятия решений.}}{{Определение|definition='''Отказавший процесс''' — это процесс, который делает только конечное количество шагов в исполнении. Такой в системе может быть максимум один (это более сильное условие, чем если может много процессов отказывать).}} Также гарантируется, что в любом исполнении любое сообщение, предназначенное не отказавшему процессу, обрабатывается через конечное число шагов.Другими словами, ''сообщения не теряются''. === Валентность ===Заметим, что в любом исполнении всегда принимается решение.Даже если один процесс отказал, то все остальные должны прийти к решению за конечное число шагов.{{Определение|definition=Конфигурация называется '''$i$-валентной''' и '''одновалентной''', если все цепочки шагов из неё приводят к решению $i$.Таким образом, бывают 0-валентные и 1-валентные конфигурации.Если же из конфигурации есть цепочки, приводящие к каждому из решений, то такая конфигурация называется '''бивалентной'''.}}'''Наблюдение''': пусть из конфигурации $X$ есть цепочка шагов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $A$, за которой идёт цепочка процессов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $B$, и в конце мы получили конфигурацию $Y$. Тогда эти цепочки коммутируют: можно сначала обработать сообщения подмножеством процессов $B$, а потом — $A$ (так как мы обрабатываем только сообщения из $X$, а не новые). '''Наблюдение''': за $i$-валентной конфигурацией могут следовать только $i$-валентные. === Начальная бивалентная конфигурация ==='''Лемма''': существует бивалентная начальная конфигурация. Доказательство от противного: пусть все начальные конфигурации одновалентны.Из нетривиальности консенсуса мы знаем, что есть как 0-, так и 1-валентные начальные конфигурации.Тогда можно найти две начальные конфигурации разной валентности, которые отличаются только состоянием одного процесса:взяли две произвольные начальные конфигурации разной валентности, начали переводить одну в другую копированием исходных состояний процессов, по одному процессу за шаг. А раз есть две такие конфигурации разной валентности, то пусть в каждой из них этот процесс (где они отличаются) откажет с самого начала, до отправки и приёма любых сообщений.Тогда мы всё ещё получим консенсус, но решение будет одинаковым, потому что внешняя система никак не может выявить состояние отказавшего процесса.А они исходно были разной валентности, противоречие. === Цепочка бивалентных конфигураций ==='''Лемма''': для любой бивалентной конфигурации можно найти следующую за ней бивалентную. '''Следствие''': если лемма верна, то мы можем построить бесконечную цепочку бивалентных конфигураций и тем самым получим противоречие и докажем FLP: есть бесконечная цепочка, в которой не принято решение. '''Доказательство''': от противного.Пусть все конфигурации после некотороый бивалентной конфигурации $G$ одновалентны.Введём определения:* $e$ — какое-то событие в $G$, скармливающее сообщение $m$ процессу $p$. Такое есть, иначе у нас в конфигурации ничего не происходит, она бивалентна, а решение должно быть детерминированным, противоречие.* $C$ — множество конфигураций, достижимых из $G$ без использования $e$. В частности, в $C$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.* $D=e(C)$, то есть все конфигурации, достижимые из $G$, где $e$ — последнее обработанное событие. В частности, в $D$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.Теперь докажем, что $D$ содержит бивалентную конфигурацию.То есть мы выбрали, насколько сильно отложить обработку произвольного события $e$ и показали, что это не порушит бивалентность.Надо ещё аккуратно, чтобы это не порушило конечность обработки каждого сообщения.Например, их можно обрабатывать по очереди, начиная с самых старых.Тогда каждое событие рано или поздно попадёт в наш шаг и будет обработано. [[Файл:distributed-flp-proof-cd.png|500px]] ==== Шаг 1: существование $i$-валентных конфигураций в $D$ ===='''Подлемма''': для любого $i$ в $D$ существует $i$-валентная конфигурация. В самом деле: так как $G$ бивалентна, то по какой-то цепочке шагов из неё можно дойти до $i$-валентной конфигурации $E_i$.Дальше разбором случаев находим искомую конфигурацию в $D$:* Если $E_i \in D$, то мы доказали подлемму.* Если $E_i \in C$, то $e(E_i) \in D$, у $e(E_i)$ такая же валентность и мы снова доказали подлемму.* Иначе ребро $e$ применялось в цепочке шагов для достижения $E_i$ из $G$. Найдём конфигурацию $F_i \in D$, которая была в этой цепочке шагов сразу после применения $e$. Так как в $D$ нет бивалентных конфигураций, то $F_i$ является $i$-валентной, что и требовалось. ==== Шаг 2: существование соседних разновалентных конфигураций ==== Теперь мы хотим найти такие две соседние конфигурации $C_0, C_1 \in C$ (отличающиеся переходом $e'(C_0)=C_1$), что $D_0=e(C_0) \in D$ является 0-валентной, а $D_1=e(C_1)$ — 1-валентной (или наоборот).Это можно сделать, если взять в $D$ конфигурацию $e(C_1)$, отличающуюся от валентности $e(G)$, а дальше посмотреть на цепочку конфигураций между $G$ и $e(C_1)$ и найти момент смены валентности. Начнём искать, более строго. Не теряя общности можем сказать, что $e(G)\in D$ является 0-валентной (иначе повторим доказательство шага).По предыдущему шагу найдём в $D$ 1-валентную конфигурацию $D_1=e(C_1)\in D$.Конфигурация $C_1$ получена какой-то конечной непустой цепочкой сообщений $x_1, x_2, \dots, x_k$.Будем по очереди убирать по одному сообщения с конца и смотреть на валентность конфигураций $e(x_{k-1}(\dots(x_1(G))\dots))$, $e(x_{k-2}(\dots(x_1(G))\dots))$, \dots — в какой-то момент она сменится с единицы на ноль (например, при пустой цепочке, т.е. при рассмотрении $e(G)\in D$).Тогда мы как раз нашли искомую пару соседей $C_0$ и $C_1$ таких, что $e(C_0)$ и $e(C_1)$ разной валентности. ==== Шаг 3: разбор случаев ====Теперь у нас, помимо конфигурации $C$ и события $e$, есть некоторое событие $e'$ и конфигурации $C_0$ и $C_1$, причём:* $e(C_0)=D_0$ является 0-валентной, а $e(C_1)=D_1$ является 1-валентной (или наоборот, повторим доказательство)* $e'(C_0)=C_1$ Разберём два случая, в зависимости от того, одному процессу приходят $e$ и $e'$ или разным. ===== Разным =====Пусть $proc(e)\neq proc(e')$ (т.е. эти события в разных процессах).Тогда нам всё равно, в каком порядке их обрабатывать, т.е. $e'(e(C_0))=e(e'(C_0))=e(C_1)=D_1$: [[Файл:Distributed-flp-proof-case1.png|300px]] Мы знаем, что $D_1$ является 1-валентной. Но так как они достижима из презентации Елизарова$D_0$, то она также является и 0-валентной, противоречие.Инфо===== Одному =====Пусть $proc(e) = proc(e') = p$ (т.е. это два сообщения одному и тому же процессу).Тогда рассмотрим цепочку шагов $\sigma$ от состояния $C_0$, в которой процесс $p$ вообще отказал вместо обработки сообщений.Тогда остальные процессы в этой цепочке пришли к какому-то решению в конфигурации $A=\sigma(C_0)$.Тогда эта конфигурация должна быть либо 0-, либо 1-валентной (в ней уже принято решение). [[Файл: Distributed-flp-proof-case2.png|400px]] Но теперь мы можем сказать, что процесс $p$ не отказал, а просто очень долго работал и теперь получает событие $e$.Так как $\sigma$ не обращается к $p$, то $E_0=e(\sigma(C_0)=\sigma(e(C_0))=\sigma(D_0)$ — конфигурация, достижимая из 0-валентной, т.е. тоже 0-валентная. С другой стороны, можно аналогично сказать, что процесс $p$ теперь получает сообщение $e'$, а за ним — сообщение $e$.Тогда получается $E_1=e(e'(\sigma(C_0))$.Из-за коммутативности получаем $E_1=\sigma(e(e'(C_0)))=\sigma(e(C_1))=\sigma(D_1)$ — конфигурация, достижимая из 1-валентной, т.е. тоже 1-валентная. Таким образом получаем, что из $A$ достижимы и 0-валентная, и 1-валентная конфигурация, противоречие. == Ссылки ==* http://bailonga.es/tpmtp/lecture09.pdf + презентация Р* https://github.com/volhovm/study-notes/blob/master/parallel_programming/parallel_programming.Елизароваorg
