37
правок
Изменения
м
== См. также ==[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубинуКатегория: Задача о максимальном потоке ]]
правки
{{Теорема
|statement=
Если <tex> f </tex> {{---}} некоторый [[Определение_сети,_потока|поток ]] в сети <tex> G = (V, E) </tex> с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, то следующие утверждения эквивалентны:# Поток <tex> f </tex> максимален.# В <tex> G_f </tex> не существует пути <tex>s \leadsto t. </tex># <tex> |f| = c(S, T) </tex> для некоторого разреза <tex> (S, T) </tex> сети <tex> G . </tex>
|proof=
<tex> (1)\Rightarrow (2)</tex>
Докажем от противного. Предположим, что в <tex> G_f </tex> существует какой-нибудь путь <tex>p = s \leadsto t</tex>.
Тогда рассмотрим <tex> f + f_p </tex>. По [[Лемма_о_сложении_потоков|лемме о сумме потоков]] <tex> f + f_p </tex> тоже является потоком в сети <tex> G </tex>,
<tex> (2) \Rightarrow (3) </tex>
Рассмотрим множество <tex> S = \lbrace v \in V : \exists\, s \leadsto v \text{ in } G_f \rbrace </tex> и <tex> T = V \setminus S</tex>.
Разбиение <tex> \langle S , T \rangle</tex> является разрезом, так как по <tex> (2) </tex> и в <tex> T G_f </tex> является разрезом, так как не существует <tex> s \leadsto t</tex>.
По [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|лемме о потоке через разрез]] <tex> f(S, T) = |f| </tex>. Также <tex> \forall u \in S, v \in T</tex> известно, что <tex>f(u, v) = c(u, v) </tex>, так как иначе вершина <tex> v </tex>
должна была бы принадлежать множеству <tex> S </tex>. Поэтому <tex> c(S, T) = f(S, T) = |f| </tex>.
<tex> (3) \Rightarrow (1) </tex>
Так как существует разрез, такой что <tex> |f| = c(S, T) </tex>, то согласно [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|следствию леммы о слабой двойственности потока и разреза]] <tex> |f| \le leqslant c(S, T)</tex>, поэтому <tex> f </tex> максимален.
}}
== См. также ==
* [[Определение_сети,_потока|Определение сети, потока]]
* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину]]
== Литература Источники информации ==
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
