Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Нет описания правки
<tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex> среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> - поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.
|proof=
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Рассмотрим Представим <tex> g = f + f'</tex>, где <tex> f' </tex> - поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>. Тогда разность <tex>g - f</tex> будет потоком в сети <tex>G_f</tex>. Его и по [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]] его величина будет равна <tex>\delta</tex>.
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. По [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|лемме]] в В этом представлении нет отрицательных циклов, так как поток иначе прибавление его к <tex>f</tex> минимальныйдаст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, положительных циклов нет, так как поток то вычтем его из <tex>g</tex> минимальныйи получим поток меньшей стоимости. То есть Таким образом <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.
Тогда <tex>\delta \cdot g_Pf_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое.
}}
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
Анонимный участник

Навигация