Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.
 
 
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex>  среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
 
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex>  среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
 
Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> - поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.
 
Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> - поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.

Версия 04:05, 5 января 2012

Теорема:
Пусть [math] f [/math] — поток минимальной стоимости в сети [math] G [/math] среди потоков величины [math] a [/math]. [math] P [/math] — путь минимальной стоимости [math] s \leadsto t[/math] в остаточной сети. Тогда для [math]\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)[/math] поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — поток минимальной стоимости среди потоков величины [math]a + \delta[/math], где [math]\delta \cdot f_P[/math] - поток величины [math]\delta[/math], проходящий по пути [math]P[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] g [/math] — поток минимальной стоимости величины [math]a + \delta[/math] в [math]G[/math]. Представим [math] g = f + f'[/math], где [math] f' [/math] - поток в остаточной сети [math]G_f[/math]. Тогда разность [math] g - f[/math] будет потоком в сети [math]G_f[/math] и по лемме о сложении потоков его величина будет равна [math]\delta[/math].

По теореме о декомпозиции [math] g - f[/math] можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей [math]P_i : s \leadsto t[/math] и циклов [math]C_i[/math]. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к [math] f [/math] даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из [math] g [/math] и получим поток меньшей стоимости. Таким образом [math]p(C_i) = 0[/math] для всех циклов.

Тогда [math]p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta[/math].

Отсюда [math] p(g) \ge p(f) + p(P) \cdot \delta \ge p(g) [/math] и поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — минимальный.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)