Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 19 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
#перенаправление [[Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]]
 +
{{Лемма
 +
|about=
 +
о представлении потоков
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> f </tex> и <tex> g </tex> {{---}} потоки в сети <tex> G </tex>. Тогда <tex> g </tex> можно представить как сумму <tex> f + f'</tex>, где <tex>f'</tex> {{---}} поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>.
 +
|proof=
 +
Рассмотрим произвольное ребро <tex> (u, v) </tex> из <tex> G </tex>. <tex> f'(u, v) = g(u, v) - f(u, v) \leqslant c(u, v) - f(u, v) = c_f(u, v) </tex>. Таким образом, поток через каждое ребро не превосходит пропускной способности остаточной сети.
 +
Антисимметричность и закон сохранения потока проверяются аналогично [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]].
 +
}}
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex>  среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
+
Пусть:
Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> - поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.
+
* <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.
 +
* <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex>  среди потоков величины <tex> a </tex>.  
 +
*<tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
 +
Тогда:
 +
<tex>\forall \delta : 0 \leqslant \delta \leqslant c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.
  
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Представим <tex> g = f + f'</tex>, где <tex> f' </tex> - поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>. Тогда разность <tex> g - f</tex> будет потоком в сети <tex>G_f</tex> и по [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]] его величина будет равна <tex>\delta</tex>.
+
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Представим <tex> g = f + f'</tex>, где <tex> f' </tex> {{---}} поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>. Тогда разность <tex> g - f</tex> будет потоком в сети <tex>G_f</tex> и по [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]] его величина будет равна <tex>\delta</tex>.
  
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] <tex> g - f</tex> можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.
+
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] <tex> g - f</tex> можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом, <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.
  
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.  
+
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) \ge p(P) \cdot \delta</tex>.  
  
 
Отсюда <tex> p(g) \ge p(f) +  p(P) \cdot \delta \ge p(g) </tex> и поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} минимальный.
 
Отсюда <tex> p(g) \ge p(f) +  p(P) \cdot \delta \ge p(g) </tex> и поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} минимальный.
  
 
}}
 
}}
 +
 +
==См. также==
 +
*[[Поток минимальной стоимости| Поток минимальной стоимости]]
 +
*[[Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости| Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости]]
 +
 +
==Источники информации==
 +
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Форда_—_Фалкерсона Wikipedia {{---}} Теорема Форда-Фалкерсона]
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==
 
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
 
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
 +
 +
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
 
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Текущая версия на 14:34, 24 января 2016

Лемма (о представлении потоков):
Пусть [math] f [/math] и [math] g [/math] — потоки в сети [math] G [/math]. Тогда [math] g [/math] можно представить как сумму [math] f + f'[/math], где [math]f'[/math] — поток в остаточной сети [math]G_f[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольное ребро [math] (u, v) [/math] из [math] G [/math]. [math] f'(u, v) = g(u, v) - f(u, v) \leqslant c(u, v) - f(u, v) = c_f(u, v) [/math]. Таким образом, поток через каждое ребро не превосходит пропускной способности остаточной сети.

Антисимметричность и закон сохранения потока проверяются аналогично лемме о сложении потоков.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть:
  • [math] G [/math] — сеть с истоком [math] s [/math] и стоком [math] t [/math].
  • [math] f [/math] — поток минимальной стоимости в сети [math] G [/math] среди потоков величины [math] a [/math].
  • [math] P [/math] — путь минимальной стоимости [math] s \leadsto t[/math] в остаточной сети.

Тогда:

[math]\forall \delta : 0 \leqslant \delta \leqslant c_f(P)[/math] поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — поток минимальной стоимости среди потоков величины [math]a + \delta[/math], где [math]\delta \cdot f_P[/math] — поток величины [math]\delta[/math], проходящий по пути [math]P[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] g [/math] — поток минимальной стоимости величины [math]a + \delta[/math] в [math]G[/math]. Представим [math] g = f + f'[/math], где [math] f' [/math] — поток в остаточной сети [math]G_f[/math]. Тогда разность [math] g - f[/math] будет потоком в сети [math]G_f[/math] и по лемме о сложении потоков его величина будет равна [math]\delta[/math].

По теореме о декомпозиции [math] g - f[/math] можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей [math]P_i : s \leadsto t[/math] и циклов [math]C_i[/math]. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к [math] f [/math] даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из [math] g [/math] и получим поток меньшей стоимости. Таким образом, [math]p(C_i) = 0[/math] для всех циклов.

Тогда [math]p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) \ge p(P) \cdot \delta[/math].

Отсюда [math] p(g) \ge p(f) + p(P) \cdot \delta \ge p(g) [/math] и поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — минимальный.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

Литература[править]

  • Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)