Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 8: Строка 8:
 
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Рассмотрим поток <tex>g - f</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Его величина равна <tex>\delta</tex>.  
 
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Рассмотрим поток <tex>g - f</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Его величина равна <tex>\delta</tex>.  
  
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. По [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|лемме]] <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов. Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.  
+
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. По [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|лемме]] в этом представлении нет отрицательных циклов, так как поток <tex>f</tex> минимальный, положительных циклов нет, так как поток <tex>g</tex> минимальный. То есть <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.  
 +
 
 +
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.  
  
 
Тогда <tex>\delta \cdot g_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое.
 
Тогда <tex>\delta \cdot g_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое.
  
 
}}
 
}}

Версия 23:58, 15 января 2011

Теорема:
[math] G [/math] — сеть с истоком [math] s [/math] и стоком [math] t [/math].

Пусть [math] f [/math] — поток минимальной стоимости в сети [math] G [/math] среди потоков величины [math] a [/math]. [math] P [/math] — путь минимальной стоимости [math] s \leadsto t.[/math]

Тогда для [math]\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)[/math] поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — поток минимальной стоимости среди потоков величины [math]a + \delta[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] g [/math] — поток величины [math]a + \delta[/math] в [math]G[/math]. Рассмотрим поток [math]g - f[/math] в сети [math]G_f[/math]. Его величина равна [math]\delta[/math].

По теореме о декомпозиции его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей [math]P_i : s \leadsto t[/math] и циклов [math]C_i[/math]. По лемме в этом представлении нет отрицательных циклов, так как поток [math]f[/math] минимальный, положительных циклов нет, так как поток [math]g[/math] минимальный. То есть [math]p(C_i) = 0[/math] для всех циклов.

Тогда [math]p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta[/math].

Тогда [math]\delta \cdot g_P[/math] — поток минимальной стоимости среди потоков величины [math]\delta[/math] в сети [math]G_f[/math]. Отсюда получаем требуемое.
[math]\triangleleft[/math]