Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Теорема |statement= <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>. Пусть <tex> f </tex> {{---}} по…»)
 
Строка 2: Строка 2:
 
|statement=
 
|statement=
 
<tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.
 
<tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex>  среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t </tex>.
+
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex>  среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t.</tex>
 
Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>.  
 
Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>.  
  
 
|proof=
 
|proof=
 +
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Рассмотрим поток <tex>g - f</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Его величина равна <tex>\delta</tex>.
 +
 +
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. По [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|лемме]] <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов. Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.
 +
 +
Тогда <tex>\delta \cdot g_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое.
 +
 
}}
 
}}

Версия 08:57, 15 января 2011

Теорема:
[math] G [/math] — сеть с истоком [math] s [/math] и стоком [math] t [/math].

Пусть [math] f [/math] — поток минимальной стоимости в сети [math] G [/math] среди потоков величины [math] a [/math]. [math] P [/math] — путь минимальной стоимости [math] s \leadsto t.[/math]

Тогда для [math]\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)[/math] поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — поток минимальной стоимости среди потоков величины [math]a + \delta[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] g [/math] — поток величины [math]a + \delta[/math] в [math]G[/math]. Рассмотрим поток [math]g - f[/math] в сети [math]G_f[/math]. Его величина равна [math]\delta[/math].

По теореме о декомпозиции его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей [math]P_i : s \leadsto t[/math] и циклов [math]C_i[/math]. По лемме [math]p(C_i) = 0[/math] для всех циклов. Тогда [math]p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta[/math].

Тогда [math]\delta \cdot g_P[/math] — поток минимальной стоимости среди потоков величины [math]\delta[/math] в сети [math]G_f[/math]. Отсюда получаем требуемое.
[math]\triangleleft[/math]