Изменения

[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]

|about = о сечениях|statement=

Принцип <tex> f </tex> суммируема, неотрицательна, поэтому можно рассмотреть подграфик <tex> f </tex>: <tex> G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} </tex>. Пользуясь принципом Кавальери (видимо, выше он и написан) был доказан нами для одномерных сечений, но он легко переносится на сечения любой размерности , в нашем случае, на двумерные), получаем: <tex> \lambda_3 G = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_2(E(нам нужны двумерныеx_1))dx_1 </tex>.

Пусть Для любого(или почти любого?) <tex> x_1 </tex>, можно рассмотреть подграфик измеримой(почему?) (суммируемой(почему?)) функции <tex> z f_{x_1}(x_2) </tex>. Воспользуемся теоремой о мере подграфика: <tex> \lambda_2 E(x_1) = \int\limits_{E(x_1)} f(xx_1, yx_2) \ge 0 dx_2 </tex>.

Но по этой же теореме, <tex> \lambda_3 G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 int\le z \le limits_E f(x, y) d\} lambda_2 </tex>. Отсюда получаем требуемое равенство.

(Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными <tex> Oyz </tex>. Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).

[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]