Редактирование: Теорема Хана-Банаха

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 5: Строка 5:
 
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
 
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
 
# теорема Банаха об обратном операторе;
 
# теорема Банаха об обратном операторе;
# теорема Штейнгауза о равномерной ограниченности.
+
# теорема Штенгауза о равномерной ограниченности.
  
 
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.
 
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.
Строка 11: Строка 11:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>X</tex> линейное пространство, <tex>Y</tex> — его линейное подпространство. Функционал <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство. Функционал <tex>f: X \rightarrow \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 18: Строка 18:
 
Хан, Банах
 
Хан, Банах
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> линейное пространство, <tex>p</tex> полунорма на нем, <tex>Y</tex> линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство, <tex>p</tex> {{---}} полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что:
+
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что:
 
# <tex>g|_Y = f</tex>
 
# <tex>g|_Y = f</tex>
# <tex>x \in X \to |g(x)| \le p(x)</tex>
+
# <tex>x \in X \Rightarrow |g(x)| \le p(x)</tex>
}}
 
 
 
{{Теорема
 
|id=
 
hbnorm
 
|author=
 
Хан, Банах
 
|about=
 
случай нормированных пространств
 
|statement=
 
Пусть <tex>X</tex> — линейное нормированное пространство, <tex>Y</tex> — подпространство <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> — линейный ограниченный функционал.
 
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
 
|proof=
 
Доказательство есть в Люстренике, Соболеве, глава про линейные функционалы, раздел про теорему Хана-Банаха в ЛНП. В такой формулировке не нужна сепарабельность, в том числе и в следствиях.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 41: Строка 27:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about=
 
о продолжении функционала
 
 
|author=
 
|author=
 
Хан, Банах
 
Хан, Банах
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> линейный ограниченный функционал.
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
+
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Доказательство разбиваем на две части.
 
Доказательство разбиваем на две части.
Строка 56: Строка 40:
 
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.
 
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.
  
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> искомый линейный функционал.
+
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> {{---}} искомый линейный функционал.
  
 
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
 
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
 
Идея: мы рассматриваем множество <tex>Y</tex> и пополняем его до линейной оболочки <tex>L = \mathcal{L}(Y,z)</tex>. По линейности, для того, чтобы можно было считать <tex>f</tex> на <tex>L</tex>, нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в <tex>z</tex>: <tex>g(z)=-c</tex>.
 
  
 
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.
 
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.
Строка 73: Строка 55:
  
  
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) - p(\frac y t + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) + p(\frac y t + z))</tex>.
+
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(y) - p(y + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(y) + p(y + z))</tex>.
  
 
Проверим, что <tex>A \le B</tex>.
 
Проверим, что <tex>A \le B</tex>.
Строка 96: Строка 78:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
+
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> линейное подмножество в <tex>X</tex>.
+
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> {{---}} линейное подмножество в <tex>X</tex>.
  
 
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.
 
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)