Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Хана-Банаха

69 байт добавлено, 22:21, 15 января 2013
тся-ться!!!111
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz) | \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.
Добьемся того, чтобы <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, из этого будет следовать, что <tex>\|g\| = \|f\|</tex>, так как при продолжении функционала его норма уменьшится уменьшиться не может.
<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex> распишем модуль:
<tex>f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)</tex> поделим на <tex>t</tex>
<tex>f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)</tex>
403
правки

Навигация