Изменения
Поправка в определении подчиненности
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
# теорема Банаха об обратном операторе;
# теорема Штенгауза Штейнгауза о равномерной ограниченности.
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} — линейное пространство, <tex>Y</tex> — его линейное подпространство. Функционал <tex>f: X Y \rightarrow to \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
}}
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} — линейное пространство, <tex>p</tex> {{---}} — полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} — линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow to \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow to \mathbb R</tex> такой, что:
# <tex>g|_Y = f</tex>
# <tex>x \in X \Rightarrow to |g(x)| \le p(x)</tex>}} {{Теорема|id=hbnorm|author=Хан, Банах|about=случай нормированных пространств|statement=Пусть <tex>X</tex> — линейное нормированное пространство, <tex>Y</tex> — подпространство <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> — линейный ограниченный функционал.Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.|proof=Доказательство есть в Люстренике, Соболеве, глава про линейные функционалы, раздел про теорему Хана-Банаха в ЛНП. В такой формулировке не нужна сепарабельность, в том числе и в следствиях.
}}
{{Теорема
|about=
о продолжении функционала
|author=
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} — [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} — линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow to \mathbb R</tex> {{---}} — линейный ограниченный функционал.Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
|proof=
Доказательство разбиваем на две части.
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> {{---}} — искомый линейный функционал.
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
Идея: мы рассматриваем множество <tex>Y</tex> и пополняем его до линейной оболочки <tex>L = \mathcal{L}(Y,z)</tex>. По линейности, для того, чтобы можно было считать <tex>f</tex> на <tex>L</tex>, нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в <tex>z</tex>: <tex>g(z)=-c</tex>.
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(\frac yt) - p(\frac y t + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(\frac yt) + p(\frac y t + z))</tex>.
Проверим, что <tex>A \le B</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - — нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
|proof=
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> {{---}} — линейное подмножество в <tex>X</tex>.
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.
