Теорема Хана-Банаха — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}} Категория: Функциональный анализ 3 курс»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 16 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
 +
Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):
 +
 +
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
 +
# теорема Банаха об обратном операторе;
 +
# теорема Штейнгауза о равномерной ограниченности.
 +
 +
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство, <tex>Y</tex> — его линейное подпространство. Функционал <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=
 +
Хан, Банах
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство, <tex>p</tex> — полунорма на нем, <tex>Y</tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.
 +
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что:
 +
# <tex>g|_Y = f</tex>
 +
# <tex>x \in X \to |g(x)| \le p(x)</tex>
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|id=
 +
hbnorm
 +
|author=
 +
Хан, Банах
 +
|about=
 +
случай нормированных пространств
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> — линейное нормированное пространство, <tex>Y</tex> — подпространство <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> — линейный ограниченный функционал.
 +
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
 +
|proof=
 +
Доказательство есть в Люстренике, Соболеве, глава про линейные функционалы, раздел про теорему Хана-Банаха в ЛНП. В такой формулировке не нужна сепарабельность, в том числе и в следствиях.
 +
}}
 +
 +
Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:
 +
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
о продолжении функционала
 +
|author=
 +
Хан, Банах
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> — [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> — линейный ограниченный функционал.
 +
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
 +
|proof=
 +
Доказательство разбиваем на две части.
 +
 +
'''1'''
 +
 +
Рассмотрим <tex>z \notin Y</tex>, <tex>L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}</tex>
 +
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.
 +
 +
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> — искомый линейный функционал.
 +
 +
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
 +
 +
Идея: мы рассматриваем множество <tex>Y</tex> и пополняем его до линейной оболочки <tex>L = \mathcal{L}(Y,z)</tex>. По линейности, для того, чтобы можно было считать <tex>f</tex> на <tex>L</tex>, нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в <tex>z</tex>: <tex>g(z)=-c</tex>.
 +
 +
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.
 +
 +
Добьемся того, чтобы <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, из этого будет следовать, что <tex>\|g\| = \|f\|</tex>, так как при продолжении функционала его норма уменьшиться не может.
 +
 +
<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex>  распишем модуль:
 +
 +
<tex>f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)</tex> поделим на <tex>t</tex>
 +
 +
<tex>f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)</tex>
 +
 +
 +
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) - p(\frac y t + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) + p(\frac y t + z))</tex>.
 +
 +
Проверим, что <tex>A \le B</tex>.
 +
 +
Для этого достаточно, чтобы выполнялось <tex>\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)</tex>:
 +
 +
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex> - верно, так как:
 +
 +
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex>.
 +
 +
Значит, можно взять любое <tex>c</tex> из отрезка <tex>[A; B]</tex>, а значение <tex>g</tex> на <tex>z \notin Y</tex> позволяет доопределить значение функционала на всем <tex>L</tex> по линейности.
 +
 +
'''2'''
 +
 +
Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex>, замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством <tex>X</tex>.
 +
 +
Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в <tex>X</tex>, <tex>L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots</tex>
 +
 +
Тогда <tex>L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)</tex>, и <tex> Cl L(e_1, e_2 \ldots e_n \dots) = X</tex>, требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.
 +
}}
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
 +
|proof=
 +
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> — линейное подмножество в <tex>X</tex>.
 +
 +
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.
 +
 +
Пользуясь только что доказанной теоремой, продолжаем <tex>f</tex> на все <tex>X</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.
 +
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex>
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)</tex>, возьмем <tex>f_j(e_i) = \delta_{ij}</tex>.
 +
 +
Тогда для <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in Y</tex>, <tex>f_j(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k f_j(e_k)</tex>.
 +
 +
Ясно, что все <tex>f_j</tex> - ограниченные линейные функционалы на <tex>Y</tex>, удовлетворяющие нашим условиям. Теперь просто продолжаем каждый из них на все <tex>X</tex> по теореме Хана-Банаха.
 +
}}
 +
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):

  1. теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
  2. теорема Банаха об обратном операторе;
  3. теорема Штейнгауза о равномерной ограниченности.

Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.


Определение:
Пусть [math]X[/math] — линейное пространство, [math]Y[/math] — его линейное подпространство. Функционал [math]f: Y \to \mathbb R[/math] подчинен полунорме [math]p[/math] на [math]X[/math], если [math]\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)[/math]


Теорема (Хан, Банах):
Пусть [math]X[/math] — линейное пространство, [math]p[/math] — полунорма на нем, [math]Y[/math] — линейное подмножество [math]X[/math], [math]f: Y \to \mathbb R[/math] удовлетворяет условию подчиненности [math]p[/math].

Тогда существует линейный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что:

  1. [math]g|_Y = f[/math]
  2. [math]x \in X \to |g(x)| \le p(x)[/math]
Теорема (Хан, Банах, случай нормированных пространств):
Пусть [math]X[/math] — линейное нормированное пространство, [math]Y[/math] — подпространство [math]X[/math], [math]f: Y \to \mathbb R[/math] — линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что [math]g|_Y = f[/math], [math]\|g\| = \|f\|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Доказательство есть в Люстренике, Соболеве, глава про линейные функционалы, раздел про теорему Хана-Банаха в ЛНП. В такой формулировке не нужна сепарабельность, в том числе и в следствиях.
[math]\triangleleft[/math]

Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:

Теорема (Хан, Банах, о продолжении функционала):
Пусть [math]X[/math]сепарабельное нормированное пространство, [math]Y[/math] — линейное подмножество [math]X[/math], [math]f: Y \to \mathbb R[/math] — линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что [math]g|_Y = f[/math], [math]\|g\| = \|f\|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство разбиваем на две части.

1

Рассмотрим [math]z \notin Y[/math], [math]L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}[/math] [math]L[/math] — линейное подпространство [math]X[/math], [math]Y \subset L[/math].

Продолжим [math]f[/math] с сохранением нормы на [math]L[/math]. Пусть [math]g[/math] — искомый линейный функционал.

[math]g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)[/math]

Идея: мы рассматриваем множество [math]Y[/math] и пополняем его до линейной оболочки [math]L = \mathcal{L}(Y,z)[/math]. По линейности, для того, чтобы можно было считать [math]f[/math] на [math]L[/math], нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в [math]z[/math]: [math]g(z)=-c[/math].

Пусть [math]g(z) = -c[/math], подберем [math]c[/math] так, чтобы нормы [math]f[/math] и [math]g[/math] совпадали. В силу ограниченности [math]f[/math], [math]|f(y)| \le \|f\|\|y\|[/math], мы хотим найти такое [math]c[/math], чтобы выполнялось [math]|g(y+tz)| \le p(y+tz)[/math], где [math]p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X[/math]. Заметим, что [math]p[/math] является полунормой.

Добьемся того, чтобы [math]|g(y+tz)| \le p(y+tz)[/math], из этого будет следовать, что [math]\|g\| = \|f\|[/math], так как при продолжении функционала его норма уменьшиться не может.

[math]|f(y) - tc| \le p(y+tz)[/math] распишем модуль:

[math]f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)[/math] поделим на [math]t[/math]

[math]f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)[/math]


Пусть [math]A = \sup\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) - p(\frac y t + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) + p(\frac y t + z))[/math].

Проверим, что [math]A \le B[/math].

Для этого достаточно, чтобы выполнялось [math]\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)[/math]:

[math]f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)[/math] - верно, так как:

[math]f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)[/math].

Значит, можно взять любое [math]c[/math] из отрезка [math][A; B][/math], а значение [math]g[/math] на [math]z \notin Y[/math] позволяет доопределить значение функционала на всем [math]L[/math] по линейности.

2

Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math], замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством [math]X[/math].

Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в [math]X[/math], [math]L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots[/math]

Тогда [math]L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)[/math], и [math] Cl L(e_1, e_2 \ldots e_n \dots) = X[/math], требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство. Тогда [math]\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1[/math].
[math]\triangleright[/math]

[math]Y = \{tx, t \in \mathbb R\}[/math] — линейное подмножество в [math]X[/math].

[math]f(tx) = t \|x\|[/math] - линейный функционал в [math]Y[/math]. Очевидно, [math]f[/math] удовлетворяет необходимым условиям.

Пользуясь только что доказанной теоремой, продолжаем [math]f[/math] на все [math]X[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Пусть [math]X[/math] - нормированное пространство, [math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — линейно независимый набор в [math]X[/math]. Тогда в [math]X[/math] существует биортогональная система функционалов [math]f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}[/math]
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)[/math], возьмем [math]f_j(e_i) = \delta_{ij}[/math].

Тогда для [math]y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in Y[/math], [math]f_j(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k f_j(e_k)[/math].

Ясно, что все [math]f_j[/math] - ограниченные линейные функционалы на [math]Y[/math], удовлетворяющие нашим условиям. Теперь просто продолжаем каждый из них на все [math]X[/math] по теореме Хана-Банаха.
[math]\triangleleft[/math]