Редактирование: Теорема Хаусдорфа об ε-сетях

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 +
{{В разработке}}
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 +
 
== Некоторые определения ==
 
== Некоторые определения ==
 
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
 
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
Строка 25: Строка 27:
 
|author=Хаусдорф
 
|author=Хаусдорф
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.  
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.  
 
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
 
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex>
+
1. Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.
 
 
Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.
 
  
 
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
 
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
  
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \ge \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то  
+
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) > \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то  
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.
+
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.
 
 
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
 
  
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) \geqslant \varepsilon_0</tex>.
+
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j), j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
  
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но по построению последовательности это невозможно, получили противоречие.
+
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) > \varepsilon_0</tex>.
  
<tex>\Longleftarrow</tex>
+
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но увы.
  
<tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
+
2. <tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
  
Рассмотрим любую последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
+
Рассмотрим последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  
Так как множество вполне ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном объединении шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
+
Так как множество ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном числе шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
  
Рассмотрим последовательность <tex>\ \varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.
+
Рассмотрим последовательность <tex>\varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.
  
 
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
 
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
  
<tex>K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_{\varepsilon_1}(y_k)</tex>
+
<tex>K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_\varepsilon(y_k)</tex>
  
Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число элементов последовательности.  
+
Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число.  
  
 
<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>.  
 
<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>.  
Обозначим <tex>V_{\varepsilon_1}(y_i)\ </tex> как <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}} </tex>.
+
Обозначим это <tex>V_{\varepsilon_1}(y_i)</tex> за <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}} </tex>.
  
Пусть <tex>K_1 = \overline{V_{\varepsilon_1}} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>.  
+
<tex>K_1 = V_{\varepsilon_1} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>.  
Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов <tex>x_n</tex>. И так далее...
+
Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов <tex>x_n</tex>. И так далее<tex>\ldots</tex>
  
 
В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:
 
В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:
Строка 75: Строка 73:
 
$\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\
 
$\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\
 
\hline
 
\hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ \\
+
$\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ & $\ddots$ \\
 
\end{tabular}
 
\end{tabular}
 
</tex>
 
</tex>
Строка 85: Строка 83:
 
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>(''диагональ Кантора'')
 
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>(''диагональ Кантора'')
  
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится в себе, то, так как <tex>X</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
+
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится к себе, то, так как <tex>K</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
  
 
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
 
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
Строка 93: Строка 91:
 
Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.
 
Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.
  
Так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится в себе, то, по полноте <tex> X </tex>, у неё есть предел.
+
В этои неравенстве <tex>p</tex> {{---}} произвольное. Тогда так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится к себе, значит, по полноте, у неё есть предел.
 +
{{TODO|t=казалось бы, причём здесь компакт?}}
 
}}
 
}}

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: