Теорема Хаусдорфа об ε-сетях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}}»)
 
м (Теорема Хаусдорфа)
 
(не показано 11 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 +
== Некоторые определения ==
 +
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
 +
за аксиому, приходим к понятию ''полного'' метрического пространства:
 +
<tex>\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho(x, x_n) \to 0</tex>
 +
 
 +
Например, в связи с критерием Коши, <tex>\mathbb{R}</tex> {{---}} полное метрическое пространство.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>A, B \subset X</tex>, <tex>\varepsilon > 0</tex>. Тогда <tex>B</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>A</tex>, если
 +
<tex>\forall a\in A\ \exists b \in B: \ \rho(a, b) < \varepsilon</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Особый интерес представляют конечные <tex>\varepsilon</tex>-сети.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>A \subset X</tex> {{---}} вполне ограничено в <tex>X</tex>, если <tex>\forall \varepsilon \ \exists </tex> конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.
 +
}}
 +
 
 +
== Теорема Хаусдорфа ==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|author=Хаусдорф
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
 +
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
 +
|proof=
 +
<tex>\Longrightarrow</tex>
 +
 
 +
Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.
 +
 
 +
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
 +
 
 +
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \ge \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то
 +
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.
 +
 
 +
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
 +
 
 +
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) \geqslant \varepsilon_0</tex>.
 +
 
 +
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но по построению последовательности это невозможно, получили противоречие.
 +
 
 +
<tex>\Longleftarrow</tex>
 +
 
 +
<tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
 +
 
 +
Рассмотрим любую последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
 +
 
 +
Так как множество вполне ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном объединении шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим последовательность <tex>\ \varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.
 +
 
 +
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
 +
 
 +
<tex>K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_{\varepsilon_1}(y_k)</tex>
 +
 
 +
Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число элементов последовательности.
 +
 
 +
<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>.
 +
Обозначим <tex>V_{\varepsilon_1}(y_i)\ </tex> как <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}} </tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex>K_1 = \overline{V_{\varepsilon_1}} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>.
 +
Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов <tex>x_n</tex>. И так далее...
 +
 
 +
В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:
 +
 
 +
<tex>
 +
\begin{tabular}{c|cccc}
 +
$\varepsilon_1$ & $x_{1, 1}$ & $x_{1, 2}$ & $x_{1, 3}$ & \ldots \\
 +
\hline
 +
$\varepsilon_2$ & $x_{2, 1}$ & $x_{2, 2}$ & $x_{2, 3}$ & \ldots \\
 +
\hline
 +
$\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\
 +
\hline
 +
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ \\
 +
\end{tabular}
 +
</tex>
 +
 
 +
В первой строке бесконечно много элементов <tex>x_n</tex> из <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}}</tex>.
 +
Во второй строке бесконечно много элементов из <tex>\overline{V_{\varepsilon_2}} </tex>.
 +
И так далее.
 +
 
 +
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>(''диагональ Кантора'')
 +
 
 +
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится в себе, то, так как <tex>X</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
 +
 
 +
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
 +
 
 +
Рассмотрим <tex>\rho(x_{n + p, n + p}, x_{n, n})</tex>
 +
 
 +
Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.
 +
 
 +
Так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится в себе, то, по полноте <tex> X </tex>, у неё есть предел.
 +
}}

Текущая версия на 15:28, 25 января 2014

Некоторые определения[править]

Пусть [math]X[/math] — метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности за аксиому, приходим к понятию полного метрического пространства: [math]\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho(x, x_n) \to 0[/math]

Например, в связи с критерием Коши, [math]\mathbb{R}[/math] — полное метрическое пространство.


Определение:
Пусть [math]A, B \subset X[/math], [math]\varepsilon \gt 0[/math]. Тогда [math]B[/math][math]\varepsilon[/math]-сеть для [math]A[/math], если [math]\forall a\in A\ \exists b \in B: \ \rho(a, b) \lt \varepsilon[/math].


Особый интерес представляют конечные [math]\varepsilon[/math]-сети.


Определение:
[math]A \subset X[/math] — вполне ограничено в [math]X[/math], если [math]\forall \varepsilon \ \exists [/math] конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть.


Теорема Хаусдорфа[править]

Теорема (Хаусдорф):
Пусть [math]X[/math] — полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Longrightarrow[/math]

Пусть [math]K[/math] — компакт.

Предположим, что [math]K[/math] — не вполне ограниченно.

Тогда [math]\exists \varepsilon_0 \gt 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \ge \varepsilon_0[/math]. Если такого [math]x_2[/math] нет, то [math]K[/math] имеет [math]\varepsilon_0[/math]-сеть [math]\{x_1\}[/math].

Тогда найдётся [math]x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}[/math]. Если бы такого [math]x_3[/math] не было, то у [math]K[/math] была бы [math]\varepsilon_0[/math]-сеть [math]\{x_1, x_2\}[/math].

И так далее. Получаем набор точек [math]x_1, x_2, \ldots[/math], [math]\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) \geqslant \varepsilon_0[/math].

Так как [math]K[/math] — компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но по построению последовательности это невозможно, получили противоречие.

[math]\Longleftarrow[/math]

[math]K[/math] — замкнутое и вполне ограниченно.

Рассмотрим любую последовательность [math]x_n[/math] в [math]K[/math]. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Так как множество вполне ограничено, то [math]\forall \varepsilon[/math] оно будет содержаться в конечном объединении шаров радиуса [math]\varepsilon[/math].

Рассмотрим последовательность [math]\ \varepsilon_n = \frac1n[/math]. Она сходится к нулю.

Так как [math]K[/math] — вполне ограниченна, то можно найти точки [math]y_1, y_2, \ldots, y_p[/math][math]\varepsilon[/math]-сеть для [math]K[/math].

[math]K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_{\varepsilon_1}(y_k)[/math]

Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число элементов последовательности.

[math]\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni [/math] бесконечно много элементов из [math]x_n[/math]. Обозначим [math]V_{\varepsilon_1}(y_i)\ [/math] как [math]\overline{V_{\varepsilon_1}} [/math].

Пусть [math]K_1 = \overline{V_{\varepsilon_1}} \cap K[/math] — замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса [math]\varepsilon_2[/math]. Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов [math]x_n[/math]. И так далее...

В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:

[math] \begin{tabular}{c|cccc} $\varepsilon_1$ & $x_{1, 1}$ & $x_{1, 2}$ & $x_{1, 3}$ & \ldots \\ \hline $\varepsilon_2$ & $x_{2, 1}$ & $x_{2, 2}$ & $x_{2, 3}$ & \ldots \\ \hline $\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\ \hline $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ \\ \end{tabular} [/math]

В первой строке бесконечно много элементов [math]x_n[/math] из [math]\overline{V_{\varepsilon_1}}[/math]. Во второй строке бесконечно много элементов из [math]\overline{V_{\varepsilon_2}} [/math]. И так далее.

Рассмотрим последовательность точек [math]x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots[/math](диагональ Кантора)

Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится в себе, то, так как [math]X[/math] — полное, у неё будет предел.

Так как [math]K[/math] — замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.

Рассмотрим [math]\rho(x_{n + p, n + p}, x_{n, n})[/math]

Так как [math]x_{n + p, n + p}[/math] есть в [math]n[/math]-й строке, то [math]\rho \leq 2\varepsilon_n[/math].

Так как [math]\varepsilon_n \to 0[/math], последовательность сходится в себе, то, по полноте [math] X [/math], у неё есть предел.
[math]\triangleleft[/math]