Изменения
→Теорема Хаусдорфа
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) > \geqslant \varepsilon_0</tex>.
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но по построению последовательности это невозможно, получили противоречие.
<tex>
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc}
$\varepsilon_1$ & $x_{1, 1}$ & $x_{1, 2}$ & $x_{1, 3}$ & \ldots \\
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ \\
\end{tabular}
\end{center}
</tex>
