Теорема Хаусдорфа об ε-сетях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}}»)
 
(сейчас табличку доделаю)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
 +
== Некоторые определения ==
 +
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
 +
за аксиому, приходим к понятию полного метрического пространства:
 +
<tex>\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho(x, x_n) = 0</tex>
 +
 +
Например, в связи с критерием Коши, <tex>\mathbb{R}</tex> {{---}} полное метрическое пространство.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>A, B \in X</tex>, <tex>\varepsilon > 0</tex>. Тогда <tex>B</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>A</tex>, если
 +
<tex>\forall a\in A\ \exists b \in B: \ \rho(a, b) < \varepsilon</tex>.
 +
}}
 +
 +
Особый интерес представляют конечные <tex>\varepsilon</tex>-сети.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>A \in X</tex> {{---}} вполне ограничено в <tex>X</tex>, если <tex>\forall \varepsilon \ \exists </tex> конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.
 +
}}
 +
 +
== Теорема Хаусдорфа ==
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=Хаусдорф
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
 +
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
 +
|proof=
 +
1. Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.
 +
 +
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
 +
 +
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) > \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то
 +
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.
 +
 +
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j), j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
 +
 +
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) > \varepsilon_0</tex>.
 +
 +
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но увы.
 +
 +
2. <tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
 +
 +
Рассмотрим последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
 +
 +
Так как множество ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном числе шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
 +
 +
Расстотрим последовательность <tex>\varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.
 +
 +
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
 +
 +
<tex>K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_\varepsilon(y_k)</tex>
 +
 +
Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число.
 +
 +
<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>.
 +
 +
<tex>K_1 = V_{\varepsilon_1} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>.
 +
Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов <tex>x_n</tex>. И так далее<tex>\ldots</tex>
 +
 +
В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:
 +
 +
 +
 +
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>
 +
 +
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится к себе, то, так как <tex>K</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
 +
 +
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
 +
 +
Рассмотрим <tex>\rho(x_{n + p, n + p}, x_{n, n})</tex>
 +
 +
Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.
 +
 +
В этои неравенстве <tex>p</tex> {{---}} произвольное. Тогда так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится к себе, значит, по полноте, у неё есть предел.
 +
{{TODO|t=казалось бы, причём здесь компакт?}}
 +
}}

Версия 22:29, 17 декабря 2010

Эта статья находится в разработке!

Некоторые определения

Пусть [math]X[/math] — метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности за аксиому, приходим к понятию полного метрического пространства: [math]\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho(x, x_n) = 0[/math]

Например, в связи с критерием Коши, [math]\mathbb{R}[/math] — полное метрическое пространство.


Определение:
Пусть [math]A, B \in X[/math], [math]\varepsilon \gt 0[/math]. Тогда [math]B[/math][math]\varepsilon[/math]-сеть для [math]A[/math], если [math]\forall a\in A\ \exists b \in B: \ \rho(a, b) \lt \varepsilon[/math].


Особый интерес представляют конечные [math]\varepsilon[/math]-сети.


Определение:
[math]A \in X[/math] — вполне ограничено в [math]X[/math], если [math]\forall \varepsilon \ \exists [/math] конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть.


Теорема Хаусдорфа

Теорема (Хаусдорф):
Пусть [math]X[/math] — метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]K[/math] — компакт.

Предположим, что [math]K[/math] — не вполне ограниченно.

Тогда [math]\exists \varepsilon_0 \gt 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \gt \varepsilon_0[/math]. Если такого [math]x_2[/math] нет, то [math]K[/math] имеет [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]\{x_1\}[/math].

Тогда найдётся [math]x_3:\ \rho(x_3, x_j), j = \overline{1, 2}[/math]. Если бы такого [math]x_3[/math] не было, то у [math]K[/math] была бы [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]\{x_1, x_2\}[/math].

И так далее. Получаем набор точек [math]x_1, x_2, \ldots[/math], [math]\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) \gt \varepsilon_0[/math].

Так как [math]K[/math] — компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но увы.

2. [math]K[/math] — замкнутое и вполне ограниченно.

Рассмотрим последовательность [math]x_n[/math] в [math]K[/math]. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Так как множество ограничено, то [math]\forall \varepsilon[/math] оно будет содержаться в конечном числе шаров радиуса [math]\varepsilon[/math].

Расстотрим последовательность [math]\varepsilon_n = \frac1n[/math]. Она сходится к нулю.

Так как [math]K[/math] — вполне ограниченна, то можно найти точки [math]y_1, y_2, \ldots, y_p[/math][math]\varepsilon[/math]-сеть для [math]K[/math].

[math]K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_\varepsilon(y_k)[/math]

Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число.

[math]\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni [/math] бесконечно много элементов из [math]x_n[/math].

[math]K_1 = V_{\varepsilon_1} \cap K[/math] — замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса [math]\varepsilon_2[/math]. Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов [math]x_n[/math]. И так далее[math]\ldots[/math]

В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:


Рассмотрим последовательность точек [math]x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots[/math]

Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится к себе, то, так как [math]K[/math] — полное, у неё будет предел.

Так как [math]K[/math] — замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.

Рассмотрим [math]\rho(x_{n + p, n + p}, x_{n, n})[/math]

Так как [math]x_{n + p, n + p}[/math] есть в [math]n[/math]-й строке, то [math]\rho \leq 2\varepsilon_n[/math].

В этои неравенстве [math]p[/math] — произвольное. Тогда так как [math]\varepsilon_n \to 0[/math], последовательность сходится к себе, значит, по полноте, у неё есть предел.

TODO: казалось бы, причём здесь компакт?
[math]\triangleleft[/math]