271
правка
Изменения
Нет описания правки
Добавление ребер не противоречит условию <math>\ (*) </math>.
Очевидно, что граф <math>\ K_n </math> гамильтонов для <math>\ k \ge 3 </math>.
Будем считать '''G''' максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа <math>\ K_n </math>.
Выберем две несмежные вершины U и V графа '''G''' с условием : <math>\ degU + degV </math> - максимально.
Будем считать, <math>\ degU \le degV </math>.
Пусть <math>\ T = \{i|f_i = U_i U_n \in E(G)\} </math> <br>
<math>\ S \cap T = \empty </math>, иначе в графе '''G''' есть гамильтонов цикл. Пусть j <math> \in S \cap T </math>. Тогда получим гамильтонов цикл графа '''G''' : <math>\ U_1 - U_{j+1} - U_{j+2} - ... - U_n - U_j - U_{j-1} - ... - U_1 </math> <br>
Из определений <math>\ S </math> и <math>\ T </math> следует, что <math>\ S \cup T \sube \{1, 2, ..., n - 1 \} </math> , поэтому <math>\ 2degU \le degU + degV = |S| + |T| < n </math>, т.е. <math>\ degU < n/2 </math> <br>Т.к. <math>\ S \cap T = \empty </math>, ни одна вершина <math>\ U_j </math> не смежна с <math>\ V = U_n </math> (<math> j \in S </math>). Отсюда в силу выбора <math>\ U </math> и <math>\ V </math> имеем <math>\ degU_j \le degU </math>. Положим <math>\ k = degU </math>Тогда имеется по крайней мере <math>\ |S| = degU = k </math> вершин, степень которых не превосходит k.В силу леммы(I) выполняется : <math>\ d_k \le k < n/2 </math> <br>По условию <math>\ (*) </math> получаем : <math>\ d_{n-k} \ge n-k </math> <br>В силу луммы(II) имеется по крайней мере <math>\ k+1 </math> вершин, степень которых не меньше <math>\ n-k </math> <br>Так как <math>\ k = degU </math>, то вершина <math>\ U </math> может быть смежна, самое большое, с <math>\ k </math> из этих <math>\ k+1 </math> вершин. Значит существует вершина <math>\ W </math>, несмежная с <math>\ U </math>, для которой <math>\ degW \ge n-k </math>. Но тогда получим <math>\ degU + degW \ge k + (n - k) = n > degU + degV </math>, что противоречит выбору <math>\ U </math> и <math>\ V </math>. <br>
}}
