Теорема Холла — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема)
(Теорема)
Строка 23: Строка 23:
  
 
<tex>\Leftarrow</tex> В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять в изначально пустое паросочетание <tex>P</tex> по одному ребру, и доказывать, что мы можем это сделать, если <tex>P</tex> не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>P</tex> — полное паросочетание.  
 
<tex>\Leftarrow</tex> В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять в изначально пустое паросочетание <tex>P</tex> по одному ребру, и доказывать, что мы можем это сделать, если <tex>P</tex> не полное). Таким образом, в конце получим что <tex>P</tex> — полное паросочетание.  
[[Файл:aba.gif|200px|thumb|right|Нахождение кратчайшего расстояния между двумя вершинами]]
 
 
#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна.
 
#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна.
 
#Переход: Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено парасочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить  из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex>(вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex>(т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.  
 
#Переход: Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено парасочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить  из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex>(вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex>(т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.  

Версия 02:23, 24 декабря 2012

Определения

Пусть [math]G(V,E)[/math] - двудольный граф. [math]L[/math] - множество вершин первой доли. [math]R[/math] - множество вершин правой доли.

Определение:
Полным(совершенным) паросочетанием называется паросочетание, в которое входят все вершины.


Определение:
Пусть [math]X \subset V [/math]. Множeство соседей [math]X[/math] определим формулой: [math]N(X)= \{ y \in V: (x,y) \in E \}[/math]


Теорема

Теорема (Холл):
Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math]. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же "соседей"("соседи по парасочетанию").

[math]\Leftarrow[/math] В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять в изначально пустое паросочетание [math]P[/math] по одному ребру, и доказывать, что мы можем это сделать, если [math]P[/math] не полное). Таким образом, в конце получим что [math]P[/math] — полное паросочетание.

  1. База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из [math]R[/math]. Следовательно база верна.
  2. Переход: Пусть после [math]k\lt n[/math] шагов построено парасочетание [math]P[/math]. Докажем, что в [math]P[/math] можно добавить вершину [math]x[/math] из [math]L[/math], не насыщенную паросочетанием [math]P[/math]. Рассмотрим множество вершин [math]H[/math] — все вершины, достижимые из [math]x[/math], если можно ходить из [math]R[/math] в [math]L[/math] только по ребрам из [math]P[/math], а из [math]L[/math] в [math]R[/math] по любым ребрам из [math]G[/math]. Тогда в [math]H[/math] найдется вершина [math]y[/math] из [math]R[/math], не насыщенная паросочетанием [math]P[/math], иначе, если рассмотреть вершины [math]H_L[/math](вершины из [math]H[/math] принадлежащие [math]L[/math]), то для них не будет выполнено условие: [math]|H_L| \gt |N(H_L)|[/math]. Тогда существует путь из [math]x[/math] в [math]y[/math], который будет удлиняющим для паросочетания [math]P[/math](т.к из [math]R[/math] в [math]L[/math] мы проходили по ребрам паросочетания [math]P[/math]). Увеличив паросочетание [math]P[/math] вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.
[math]\triangleleft[/math]

==Пояснения к доказательству

Нахождение кратчайшего расстояния между двумя вершинами

Пусть было построено паросочетание размером 3(синие ребра). Добавляем вершину с номером 4.

Примечания

Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.

Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.

Ссылки