Теорема Холла — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Определения)
(Теорема)
Строка 24: Строка 24:
 
*В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex> в <tex>G'</tex> и доказывать, что в <tex>G'</tex> есть паросочетание, насыщающее все вершины из <tex>L'</tex>). Таким образом, в конце получим что <tex>G'</tex> совпадает с <tex>G</tex>. Из этого будет следовать существование в <tex>G</tex> полного паросочетания.
 
*В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex> в <tex>G'</tex> и доказывать, что в <tex>G'</tex> есть паросочетание, насыщающее все вершины из <tex>L'</tex>). Таким образом, в конце получим что <tex>G'</tex> совпадает с <tex>G</tex>. Из этого будет следовать существование в <tex>G</tex> полного паросочетания.
 
#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R'</tex>. Следовательно база верна.
 
#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R'</tex>. Следовательно база верна.
#Переход: Пусть после <tex>k</tex> добавлений в <tex>G'</tex> можно построить паросочетание <tex>P</tex>, насыщающее все вершины из <tex>L'</tex>. Докажем что после добавления вершины <tex>x</tex> в <tex>G'</tex> будет существовать паросочетание, насыщающее все вершины <tex>L'</tex>.Добавим <tex>x</tex> в <tex>G'</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить  из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L'</tex> в <tex>R'</tex> по любым ребрам из <tex>G'</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R'</tex>, не принадлежащая <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex>(вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L'</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex>(т.к из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание P вдоль этого пути получаем искомое паросочетание.
+
#Переход: Пусть после <tex>k</tex> добавлений в <tex>G'</tex> можно построить паросочетание <tex>P</tex>, насыщающее все вершины из <tex>L'</tex>. Докажем что после добавления вершины <tex>x</tex> в <tex>G'</tex> будет существовать паросочетание, насыщающее все вершины <tex>L'</tex>.Добавим <tex>x</tex> в <tex>G'</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить  из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L'</tex> в <tex>R'</tex> по любым ребрам из <tex>G'</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R'</tex>, не принадлежащая <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex>(вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L'</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex>(т.к из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание P вдоль этого пути получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.  
Следовательно предположение индукции верно.  
 
 
}}
 
}}
  

Версия 00:24, 23 декабря 2012

Определения

Пусть [math]G(V,E)[/math] - двудольный граф. [math]L[/math] - множество вершин первой доли. [math]R[/math] - множество вершин правой доли.

Определение:
Полным(совершенным) паросочетанием называется паросочетание, в которое входят все вершины.


Определение:
Пусть [math]X \subset V [/math]. Множeство соседей [math]X[/math] определим формулой: [math]N(X)= \{ y \in V: (x,y) \in E \}[/math]


Теорема

Теорема (Холл):
Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math]. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же "соседей"("соседи по парасочетанию").

Пусть граф [math]G'[/math] изначально имеет левую долю [math]L'[/math], которая содержит одну любую вершину из [math]L[/math], и правую [math]R' = R[/math].

  • В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину [math]x[/math] из [math]L[/math] в [math]G'[/math] и доказывать, что в [math]G'[/math] есть паросочетание, насыщающее все вершины из [math]L'[/math]). Таким образом, в конце получим что [math]G'[/math] совпадает с [math]G[/math]. Из этого будет следовать существование в [math]G[/math] полного паросочетания.
  1. База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из [math]R'[/math]. Следовательно база верна.
  2. Переход: Пусть после [math]k[/math] добавлений в [math]G'[/math] можно построить паросочетание [math]P[/math], насыщающее все вершины из [math]L'[/math]. Докажем что после добавления вершины [math]x[/math] в [math]G'[/math] будет существовать паросочетание, насыщающее все вершины [math]L'[/math].Добавим [math]x[/math] в [math]G'[/math]. Рассмотрим множество вершин [math]H[/math] — все вершины, достижимые из [math]x[/math], если можно ходить из [math]R'[/math] в [math]L'[/math] только по ребрам из [math]P[/math], а из [math]L'[/math] в [math]R'[/math] по любым ребрам из [math]G'[/math]. Тогда в [math]H[/math] найдется вершина [math]y[/math] из [math]R'[/math], не принадлежащая [math]P[/math], иначе, если рассмотреть вершины [math]H_L[/math](вершины из [math]H[/math] принадлежащие [math]L'[/math]), то для них не будет выполнено условие: [math]|H_L| \gt |N(H_L)|[/math]. Тогда существует путь из [math]x[/math] в [math]y[/math], который будет удлиняющим для паросочетания [math]P[/math](т.к из [math]R'[/math] в [math]L'[/math] мы проходили по ребрам паросочетания [math]P[/math]). Увеличив паросочетание P вдоль этого пути получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.
[math]\triangleleft[/math]

Примечания

Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.

Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.

Ссылки