Изменения

Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено паросочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex> (вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > \leqslant |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex> (т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.