1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
|about=
Эдмондса - Лоулера
|statement= Пусть <tex>M_1=<\langle X, I_1>\rangle </tex>, <tex>M_2=<\langle X, I_2>\rangle </tex> - матроиды. Тогда <br><tex>\max_max\limits_{I \in I_1 \cap I_2 } |I| = \min_min\limits_{A \subseteq X} r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex>
Где <tex>r_1</tex> и <tex>r_2</tex> - ранговые функции в первом и втором матроиде соответственно.
|proof=
Докажем неравенство <tex>\max\limits_{I \in I_1 \cap I_2 } |I| \le \min\limits_{A \subseteq X} r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex> <br>Выберем произвольные <tex>I \in I_1 \cap I_2</tex>, <tex>A \subseteq X</tex> <br><tex>|I| = |I \cap A| + |I \cap (X \setminus A)|</tex> <br><tex>I \cap A</tex> и <tex>I \cap (X \setminus A)</tex> - независимые в обоих матроидах (как подмножества независимового <tex>I</tex>), значит<tex>|I| = r_1(I \cap A) + r_2(I \cap (X \setminus A))</tex> <br>Но <tex>r_1(I \cap A) \le r_1(A)</tex> и <tex>r_2(I \cap (X \setminus A)) \le r_2(X \setminus A)</tex>, значит <tex>|I| \le r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex> <br>В силу произвольности <tex>I</tex> и <tex>A</tex> получаем <br><tex>\max\limits_{I \in I_1 \cap I_2 } |I| \le \min\limits_{A \subseteq X} r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex>
}}
