116
правок
Изменения
Обернул множество баз в mathcal
|about=
о базах
|statement= Пусть <tex>M</tex> — матроид и <tex>B_s\mathcal{B}</tex> — семейство его баз. Тогда: <br> 1) <tex>B_s \mathcal{B} \ne \varnothing</tex>; <br>2) если <tex>B_1, B_2 \in B_s\mathcal{B}</tex> и <tex>B_1 \ne B_2</tex>, то <tex>B_1 \nsubseteq B_2</tex> и <tex>B_2 \nsubseteq B_1</tex>;<br>3) если <tex>B_1, B_2 \in B_s\mathcal{B}</tex>, то для <tex>\forall b_1 \in B_1 \: \exists b_2 \in B_2 </tex> такой, что <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in B_s\mathcal{B}</tex>.
|proof=
1) Следует из первой аксиомы [[Определение матроида|определения матроида]]. <br>
По теореме о равномощности баз <tex>|B_2|>|B_1 \setminus b_1|</tex>. <br>
Значит по третьей аксиоме [[Определение матроида|определения матроида]] <tex>\exists b_2 \in B_2 </tex> такой, что <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in I</tex>. <br>
А так как <tex>|(B_1 \setminus b_1) \cup b_2| = |B_1| \:</tex> и <tex>B_1</tex> — база, то <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in B_s\mathcal{B}</tex>, что и требовалось доказать.
}}
