Теорема о включении BPP в P/poly — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Доказательство)
 
Строка 5: Строка 5:
 
== Доказательство ==
 
== Доказательство ==
  
Для доказательства данной теоремы воспользуемся сильным определением [[Сложностный_класс_BPP|BPP]]. Возьмём случайную последовательность, как дополнительный вход, который будет решать для любого входа <tex> x </tex> c экспоненцальной низкой вероятностью ошибки. Зафиксируем язык из <tex> BPP </tex> и добьёмся вероятности ошибки <tex> \frac{1}{2^{n+1}}</tex>, где <tex> n = |x| </tex> (длина входа). Будем говорить, что <tex> r </tex> "плохо" для <tex> x </tex>, если ответ неверный. Пусть <tex> t </tex> общее количество возможных вероятностных лент для <tex> r </tex>. Для каждого <tex> x </tex> по крайне мере <tex> \frac{t}{2^{n+1}}</tex> "плохих" значений <tex> r</tex>. Cуммирую по всем <tex> x </tex>, мы получим, что по крайне мере <tex> \frac{t \cdot 2^{n}}{2^{n+1}}</tex> "плохих" <tex> r </tex> для <tex> x </tex>. С другой стороны, хотя бы <tex> t/2 </tex> значений <tex> r </tex> не "плохи" для любого <tex> x </tex>. Получается, что точно найдётся такое <tex> r </tex>, при котором будет получается всегда верный результат. Полученное <tex> r </tex> будет являться подсказкой для заданной длины <tex> n </tex>. Таким образом мы получили, что язык из <tex> BPP </tex> принадлежит <tex>P/poly</tex>.
+
Для доказательства данной теоремы воспользуемся сильным определением [[Сложностный_класс_BPP|BPP]]. Возьмём случайную последовательность, как дополнительный вход r, который будет решать для любого входа <tex> x </tex> c экспоненцальной низкой вероятностью ошибки. Зафиксируем язык из <tex> BPP </tex> и добьёмся вероятности ошибки <tex> \frac{1}{2^{n+1}}</tex>, где <tex> n = |x| </tex> (длина входа). Будем говорить, что <tex> r </tex> "плохо" для <tex> x </tex>, если ответ неверный. Пусть <tex> t </tex> общее количество возможных вероятностных лент для <tex> r </tex>. Для каждого <tex> x </tex> по крайне мере <tex> \frac{t}{2^{n+1}}</tex> "плохих" значений <tex> r</tex>. Cуммирую по всем <tex> x </tex>, мы получим, что по крайне мере <tex> \frac{t \cdot 2^{n}}{2^{n+1}}</tex> "плохих" <tex> r </tex> для <tex> x </tex>. С другой стороны, хотя бы <tex> t/2 </tex> значений <tex> r </tex> не "плохи" для любого <tex> x </tex>. Получается, что точно найдётся такое <tex> r </tex>, при котором будет получается всегда верный результат. Полученное <tex> r </tex> будет являться подсказкой для заданной длины <tex> n </tex>. Таким образом мы получили, что язык из <tex> BPP </tex> принадлежит <tex>P/poly</tex>.

Текущая версия на 15:16, 17 июня 2010

Формулировка[править]

[math]BPP \subset P/poly[/math]

Доказательство[править]

Для доказательства данной теоремы воспользуемся сильным определением BPP. Возьмём случайную последовательность, как дополнительный вход r, который будет решать для любого входа [math] x [/math] c экспоненцальной низкой вероятностью ошибки. Зафиксируем язык из [math] BPP [/math] и добьёмся вероятности ошибки [math] \frac{1}{2^{n+1}}[/math], где [math] n = |x| [/math] (длина входа). Будем говорить, что [math] r [/math] "плохо" для [math] x [/math], если ответ неверный. Пусть [math] t [/math] общее количество возможных вероятностных лент для [math] r [/math]. Для каждого [math] x [/math] по крайне мере [math] \frac{t}{2^{n+1}}[/math] "плохих" значений [math] r[/math]. Cуммирую по всем [math] x [/math], мы получим, что по крайне мере [math] \frac{t \cdot 2^{n}}{2^{n+1}}[/math] "плохих" [math] r [/math] для [math] x [/math]. С другой стороны, хотя бы [math] t/2 [/math] значений [math] r [/math] не "плохи" для любого [math] x [/math]. Получается, что точно найдётся такое [math] r [/math], при котором будет получается всегда верный результат. Полученное [math] r [/math] будет являться подсказкой для заданной длины [math] n [/math]. Таким образом мы получили, что язык из [math] BPP [/math] принадлежит [math]P/poly[/math].