Изменения

Пусть <tex>G = (V, E)</tex> — [[Определение сети, потока#flow_network|транспортная сеть]], <tex>f</tex> — [[Определение сети, потока#flow|поток]] в <tex>G</tex>. Тогда <tex>|f|</tex> можно представить в виде совокупности <tex>O(E)</tex> путей из истока в сток и циклов: <tex>|f| = \sum\limits_{i=1}^{}c_{i}\cdot f(p_{i}) + \sum\limits_{j=1}^{}d_{j}\cdot f(k_{j})</tex>, где <tex>p_{i}</tex> — путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, <tex>k_{j}</tex> — цикл, при этом все пути <tex>c_{i}</tex> и циклы будут иметь положительный поток<tex>d_{j}</tex> — константы.

Пусть <tex>s</tex> — исток, <tex>t</tex> — сток сети <tex>G</tex>. Пусть из <tex>s</tex> выходит хотя бы одно ребро с положительным потоком. Пойдем по этому ребру, попадем в вершину <tex>v_1</tex>. Если <tex>v_1</tex> совпадает с <tex>t</tex>, то найденный путь является путем из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, иначе по закону сохранения потока для вершины <tex>v_1</tex> из нее неё должно выходить хотя бы одно ребро с положительным потоком в некоторую вершину <tex>v_2</tex>. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока <tex>v_i</tex> не совпадет с <tex>t</tex> (найден путь <tex>p_{i}</tex> из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>) либо с одной из ранее посещенных вершин (найден цикл<tex>k_{j}</tex>). Данный путь (цикл) будет иметь положительный поток <tex>f'</tex>(<tex>p_{i}</tex>) или <tex>f</tex>(<tex>k_{j}</tex>), равный минимальному среди потоков по всем ребрам рёбрам пути (цикла). Уменьшая поток каждого ребра этого пути (цикла) на величину <tex>f'</tex>(<tex>p_{i}</tex>) или <tex>f</tex>(<tex>k_{j}</tex>), получаем новый поток. Будем продолжать описанный алгоритм до тех пор, пока поток из <tex>s</tex> не станет нулевым. Потребуем теперь, чтобы потоки из других вершин стали нулевыми. Для этого повторим поиск циклов вышеописанным способом для других вершин. Итак, поскольку потоки по всем ребрам рёбрам равны нулю, то мы получили искомую декомпозицию потока. Заметим, что после поиска одного пути (цикла) поток хотя бы по одному из ребер рёбер обнулится, следовательно, для полного представления потока потребуется не более <tex>E</tex> таких операций.

'''function'''simpleDecomposition(<tex>s</tex>)''': <tex> Q = \varnothing</tex> <font color=green>// множество пройденных рёбер</font> <tex> P = \varnothing </tex> <font color=green>// множество посещённых вершин</font>

edge <tex>e =\varnothing</tex> NULL '''for''' <tex>u : (vuv,u) \in E</tex> '''if''' <tex> f(vuv,u)>0 </tex> <tex>e = (vuv,u)</tex>

'''if''' <tex>e =\varnothing</tex> NULL '''return''' NULL<tex>\varnothing</tex>

'''if''' <tex>v \in P </tex> <font color=green>// нашли цикл, удаляем из <tex>Q</tex> все ребрарёбра, найденные до того, как <tex>v</tex> была включена в <tex>P</tex></font>

<tex>f(Q) = f(Q)</tex> - <tex>\min\limits_{uv (u,v) \in Q}f(uvu,v) </tex>

'''function'''fullDecomposition()''': <tex> d = \varnothing </tex> <font color=green>// собственно, декомпозиция графа: совокупность подмножеств, которые являются путями/циклами, и их поток</font> <tex>p = </tex> simpleDecomposition(<tex>s</tex>) <font color=green>// один из путей/циклов в графе и его поток</font> '''while''' (<tex>p \neq \varnothing</tex> NULL)

'''while''' (<tex>p \neq \varnothing</tex> NULL)