Изменения

о декомпозиции потока

Любой поток Пусть <tex>G = (V, E)</tex> — [[Определение сети, потока#flow_network|транспортная сеть]], <tex>f</tex> — [[Определение сети, потока#flow|транспортной сетипоток]] в <tex>G = (V, E)</tex>. Тогда <tex>|f|</tex> можно представить в виде совокупности <tex>O(E)</tex> путей из истока в сток и циклов. При этом все пути : <tex>|f| = \sum\limits_{i=1}^{}c_{i}\cdot f(p_{i}) + \sum\limits_{j=1}^{}d_{j}\cdot f(k_{j})</tex>, где <tex>p_{i}</tex> — путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, <tex>k_{j}</tex> — цикл, <tex>c_{i}</tex> и циклы имеет положительный поток<tex>d_{j}</tex> — константы.

Пусть <tex>s</tex> - — исток, <tex>t</tex> - — сток потока сети <tex>fG</tex>. Если поток ненулевой, то Пусть из <tex>s</tex> выходит хотя бы одно ребро с положительным потоком. Пойдем по этому ребру, попадем в вершину <tex>v_1</tex>. Если <tex>v_1</tex> совпадает с <tex>st</tex>, то найденный путь является путем из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, иначе по закону сохранения потока для вершины <tex>v_1</tex> из нее неё должно выходить хотя бы одно ребро с положитедьным положительным потоком в некоторую вершину <tex>v_2</tex>. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока <tex>v_i</tex> не совпадет с <tex>t</tex> (найден путь <tex>p_{i}</tex> из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>) либо с одной из ранее посещенных вершин (найден цикл <tex>v_j, k_{j < i}</tex> или <tex>s</tex> (найден цикл). Данный путь (цикл) будет иметь положительный поток <tex>f'</tex>(<tex>p_{i}</tex>) или <tex>f</tex>(<tex>k_{j}</tex>), равный минимальному среди потоков по всем ребрам рёбрам пути (цикла). Уменьшая поток каждого ребра этого пути (цикла) на величину <tex>f'</tex>(<tex>p_{i}</tex>) или <tex>f</tex>(<tex>k_{j}</tex>), получаем новый поток. Будем продолжать описанный алгоритм до тех пор, пока потокиз <tex>s</tex> не станет нулевым. Потребуем теперь, к которому снова применим этот процессчтобы потоки из других вершин стали нулевыми. Для этого повторим поиск циклов вышеописанным способом для других вершин. Итак, поскольку потоки по всем рёбрам равны нулю, то мы получили искомую декомпозицию потока. Заметим, что в результате однократного запуска этого процесса после поиска одного пути (цикла) поток хотя бы по одному из ребер рёбер обнулится, следовательно, для полного представления потока потребуется не более <tex>E</tex> таких операций.