Теорема о компактности сопряжённого оператора — различия между версиями
(Новая страница: «Пусть <tex>A</tex> является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор <tex>A^*</tex> т…») |
Ulyantsev (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
Пусть <tex>A</tex> является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор <tex>A^*</tex> также является компактным. | Пусть <tex>A</tex> является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор <tex>A^*</tex> также является компактным. | ||
| + | |||
| + | ===Доказательство теоремы=== | ||
| + | |||
| + | Итак, рассмотрим оператор <tex>A^*: F^* \to E^*</tex>. | ||
| + | По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>. | ||
| + | |||
| + | Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>. | ||
| + | Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1\</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. | ||
Версия 21:35, 20 июня 2010
Пусть является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор также является компактным.
Доказательство теоремы
Итак, рассмотрим оператор . По определению сопряженного оператора, если , то .
Для доказательства необходимо показать, что множество будет относительно компактно в . Для этого надо показать, что если взята последовательность такая, что , то можно выбрать такую, что сходится в .
